O conjunto de dados a seguir, representa o número de minutos que 20 pessoas de uma amostra se exercita a cada semana.
10813912012312013212313113115715012411191135119116117127128
a. Construa uma distribuição de frequência para o conjunto de dados. Inclua limites de classe, pontos médios, frequências, frequências relativas e frequências acumuladas.
b. Encontre o desvio padrão e o coeficiente de variação do conjunto de dados.
c. Se uma academia resolve dividir as pessoas em três categorias, com relação ao tempo de exercício, de forma que: - os 25 \% mais sedentários sejam da categoria A ; - os 25 \% seguintes sejam da categoria B eo restante, ou seja, os mais ativos sejam da categoria C, pede-se para determinar os limites do tempo de exercícios das categorias \mathrm{A}, \mathrm{B} e C .

Passo 1

O enunciado dá um conjunto de dados com o número de minutos que 20 pessoas se exercitam por semana. As perguntas são:
a) construir uma distribuição de frequência com limites de classe, pontos médios, frequências, frequências relativas e frequências acumuladas;
b) calcular o desvio padrão e o coeficiente de variação;
c) dividir a amostra em três categorias (os 25\% mais sedentários = categoria A; os 25\% seguintes = categoria B; o restante = categoria C) e determinar os limites de tempo de exercício de cada categoria.
Dados originais (conforme lidos da sequência dada):
108,\;139,\;120,\;123,\;120,\;132,\;123,\;131,\;131,\;157,\;150,\;124,\;111,\;91,\;135,\;119,\;116,\;117,\;127,\;128

Passo 2

Ordenar os dados (isso facilita contagens, soma e identificação de quantis). Dados ordenados do menor ao maior:
91,\;108,\;111,\;116,\;117,\;119,\;120,\;120,\;123,\;123,\;124,\;127,\;128,\;131,\;131,\;132,\;135,\;139,\;150,\;157
Confirmei que há 20 observações.

Passo 3

Determinar o intervalo (amplitude) para escolher classes da distribuição de frequência. Valor mínimo =91, máximo =157. Amplitude total:
\text{Amplitude} = 157-91 = 66.
Para uma tabela legível com 20 observações, escolhi 6 classes (uma escolha prática). A largura aproximada da classe é
h \approx \frac{66}{6} \approx 11.
Arredondei a largura para 12 minutos para ter limites inteiros fáceis de trabalhar.

Passo 4

Definir as classes com largura 12 cobrindo de 90 a 161 (para incluir 157). Usei classes fechadas à esquerda e direita com inteiros fáceis:
\begin{aligned} \text{Classe 1: } &90\text{ a }101\\\ \text{Classe 2: } &102\text{ a }113\\\ \text{Classe 3: } &114\text{ a }125\\\ \text{Classe 4: } &126\text{ a }137\\\ \text{Classe 5: } &138\text{ a }149\\\ \text{Classe 6: } &150\text{ a }161 \end{aligned}
Esses limites cobrem todos os dados (o menor 91 e o maior 157).

Passo 5

Calcular os pontos médios de cada classe. O ponto médio é a média dos limites da classe; para cada classe i com limites L_i (inferior) e U_i (superior),
\text{ponto médio } m_i = \frac{L_i + U_i}{2}.é
Aplicando:
\begin{aligned} m_1 &= \frac{90+101}{2} = 95{,}5,\\\ m_2 &= \frac{102+113}{2} = 107{,}5,\\\ m_3 &= \frac{114+125}{2} = 119{,}5,\\\ m_4 &= \frac{126+137}{2} = 131{,}5,\\\ m_5 &= \frac{138+149}{2} = 143{,}5,\\\ m_6 &= \frac{150+161}{2} = 155{,}5. \end{aligned}

Passo 6

Contar as frequências observando os dados ordenados e a que classe cada valor pertence.
  • Classe 90\text{–}101: contém \{91\} → frequência f_1=1.
  • Classe 102\text{–}113: contém \{108,111\} f_2=2.
  • Classe 114\text{–}125: contém \{116,117,119,120,120,123,123,124\} f_3=8.
  • Classe 126\text{–}137: contém \{127,128,131,131,132,135\} f_4=6.
  • Classe 138\text{–}149: contém \{139\} f_5=1.
  • Classe 150\text{–}161: contém \{150,157\} f_6=2.
Verificação: 1+2+8+6+1+2=20.

Passo 7

Calcular as frequências relativas fr_i e acumuladas F_i. A frequência relativa é fr_i = \dfrac{f_i}{n} com n=20. A frequência acumulada é soma das frequências até aquela classe.
Cálculos:
\begin{aligned} fr_1 &= \frac{1}{20}=0{,}05,\quad &F_1&=1\\\ fr_2 &= \frac{2}{20}=0{,}10,\quad &F_2&=1+2=3\\\ fr_3 &= \frac{8}{20}=0{,}40,\quad &F_3&=3+8=11\\\ fr_4 &= \frac{6}{20}=0{,}30,\quad &F_4&=11+6=17\\\ fr_5 &= \frac{1}{20}=0{,}05,\quad &F_5&=17+1=18\\\ fr_6 &= \frac{2}{20}=0{,}10,\quad &F_6&=18+2=20 \end{aligned}
Frequências relativas acumuladas correspondentes:
0{,}05,\;0{,}15,\;0{,}55,\;0{,}85,\;0{,}90,\;1{,}00.

Passo 8

Resumo final da distribuição de frequência (colunas: limites de classe, ponto médio m_i, frequência f_i, frequência relativa fr_i, frequência acumulada F_i):
\begin{aligned} &\text{Classe }90\text{–}101,\quad m=95{,}5,\quad f=1,\quad fr=0{,}05,\quad F=1\\\ &\text{Classe }102\text{–}113,\quad m=107{,}5,\quad f=2,\quad fr=0{,}10,\quad F=3\\\ &\text{Classe }114\text{–}125,\quad m=119{,}5,\quad f=8,\quad fr=0{,}40,\quad F=11\\\ &\text{Classe }126\text{–}137,\quad m=131{,}5,\quad f=6,\quad fr=0{,}30,\quad F=17\\\ &\text{Classe }138\text{–}149,\quad m=143{,}5,\quad f=1,\quad fr=0{,}05,\quad F=18\\\ &\text{Classe }150\text{–}161,\quad m=155{,}5,\quad f=2,\quad fr=0{,}10,\quad F=20 \end{aligned}

Passo 9

Agora vamos calcular o desvio padrão. Primeiro preciso da média aritmética \bar{x}. A média é a soma das observações dividida por n. Já somei os dados ordenados:
\sum x_i = 2502.
Logo
\bar{x} = \frac{2502}{20} = 125{,}1 \text{ minutos}.

Passo 10

Explicar a fórmula do desvio padrão amostral: para uma amostra de tamanho n, o desvio padrão amostral s é dado por
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}.
Aqui x_i são as observações e \bar{x} é a média. Usamos n-1 (graus de liberdade) quando queremos estimar a variabilidade da população a partir da amostra.

Passo 11

Calcular as diferenças (x_i-\bar{x}), quadrados (x_i-\bar{x})^2 e somar. Para poupar espaço eu já calculei cada termo; a soma dos quadrados das diferenças é
\sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2 = 3959{,}8.
(Se quiser checar: essas somas vêm de cada termo como por exemplo (91-125{,}1)^2=1162{,}81, (108-125{,}1)^2=292{,}41, etc., somando todos os 20 valores dá 3959{,}8.)

Passo 12

Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral:
s^2 = \frac{3959{,}8}{n-1} = \frac{3959{,}8}{19} = 208{,}410526\ldots
s = \sqrt{208{,}410526\ldots} \approx 14{,}44\\ \text{minutos (arredondando duas casas decimais)}.
Expliquei: s^2 mede a variância média corrigida e s é sua raiz quadrada, na mesma unidade (minutos).

Passo 13

Calcular o coeficiente de variação (CV). O coeficiente de variação expressa a dispersão relativa em percentagem e é definido por
\text{CV} = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo:
\text{CV} = \frac{14{,}4365\ldots}{125{,}1}\times100\% \approx 11{,}54\%.
(O valor s usado é o já calculado; aqui apresentei o CV com duas casas decimais.)

Passo 14

Passar para a parte (c): dividir a amostra em três categorias de acordo com tempo de exercício, onde os 25\% mais sedentários ficam em A, os 25\% seguintes em B e o resto (50%) em C. Como n=20, 25\% corresponde a 0{,}25\cdot 20 = 5 observações. Logo: A = 5 menores, B = próximos 5, C = últimos 10.

Passo 15

Usar os dados ordenados para identificar as fronteiras. As primeiras 5 observações (menores) são:
91,\;108,\;111,\;116,\;117.
A maior observação do grupo A é 117. Os próximos 5 (para B) são:
119,\;120,\;120,\;123,\;123,
a maior em B é 123. As restantes 10 (categoria C) começam em 124 e vão até 157.

Passo 16

Definir limites práticos para as categorias de tempo (para que cada categoria tenha exatamente as proporções pedidas). Uma escolha consistente e simples é:
\begin{aligned} \text{Categoria A (25\% mais sedentários): } &\text{tempo } \le 117\\ \text{minutos}\\\ \text{Categoria B (25\% seguintes): } &118\text{ a }123\\ \text{minutos (incl.)}\\\ \text{Categoria C (50\% mais ativos): } &\ge 124\\ \text{minutos} \end{aligned}á
Isso coloca exatamente 5 pessoas em A, 5 em B e 10 em C, conforme pedido. (Note que não há observação com 118; usei 118 como limite inteiro entre 117 e 119 para clareza de intervalo.)

Resposta

a) Distribuição de frequência:
Classe 90\text{–}101, m=95{,}5, f=1, fr=0{,}05, F=1
Classe 102\text{–}113, m=107{,}5, f=2, fr=0{,}10, F=3
Classe 114\text{–}125, m=119{,}5, f=8, fr=0{,}40, F=11
Classe 126\text{–}137, m=131{,}5, f=6, fr=0{,}30, F=17
Classe 138\text{–}149, m=143{,}5, f=1, fr=0{,}05, F=18
Classe 150\text{–}161, m=155{,}5, f=2, fr=0{,}10, F=20
b) Desvio padrão amostral s \approx 14{,}44 minutos; coeficiente de variação \text{CV} \approx 11{,}54\%.
c) Limites das categorias (para obter exatamente 25\%/25\%/50\%):
A: \le 117 minutos;
B: 118 a 123 minutos;
C: \ge 124 minutos.

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