O tempo de trabalho dos funcionários em uma empresa é normalmente distribuído, com média de 11,2 anos e desvio padrão de 2,1 anos. Em uma redução de quadro, os 10 \% com menos tempo na empresa são demitidos. Qual é o tempo máximo que um funcionário pode ter trabalhado na empresa e ainda assim ser cortado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz uma pergunta bem direta. \n
  • Média do tempo de trabalho: \mu = 11,2 anos. \n
  • Desvio padrão: \sigma = 2,1 anos. \n
  • Serão demitidos os 10\% com menos tempo na empresa (ou seja, o menor 10\%). \n
    Pergunta: Qual é o tempo máximo que um funcionário pode ter trabalhado e ainda assim estar entre esses 10\% (ou seja, qual é o 10º percentil da distribuição)?

Passo 2

Conceito chave: o enunciado pede o 10º percentil da distribuição normal. Isso significa encontrar x tal que
P(X \le x) = 0,10.
Para trabalhar com a normal padrão (tabela ou calculadora), usamos a padronização. Se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, então
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
é uma variável com distribuição normal padrão N(0,1). Portanto
P(X \le x) = P\!\left(Z \le \frac{x-\mu}{\sigma}\right).
Queremos que essa probabilidade valha 0,10, ou seja
P\!\left(Z \le \frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,10.

Passo 3

Agora encontramos o quantil da normal padrão correspondente a 0,10. Ou seja, achamos
z_{0,10} = \Phi^{-1}(0,10),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Consultando uma tabela z ou usando uma calculadora estatística obtemos aproximadamente
z_{0,10} \approx -1,2816.
(Se você olhar numa tabela, verá que \Phi(-1,28)\approx 0,1003, e refinando dá cerca de -1,2816.)

Passo 4

Voltando à relação de padronização, temos
\frac{x-\mu}{\sigma} = z_{0,10}.
Isolando x,
x = \mu + z_{0,10}\sigma.
Substituindo os valores \mu=11,2, \sigma=2,1 e z_{0,10}\approx -1,2816,
x = 11,2 + (-1,2816)\cdot 2,1.
Calculemos passo a passo: (-1,2816)\cdot 2,1 = -2,69136. Então
x = 11,2 - 2,69136 = 8,50864.
Arredondando para duas casas decimais (próximo do que se usa normalmente em anos), obtemos x \approx 8,51 anos. \n
Interpretação: qualquer funcionário com tempo de serviço menor ou igual a \,8,51 anos está no menor 10\% e seria cortado.

Passo 5

Cheque rápido (sanidade): calcule o z para x=8,50864:
z=\frac{8,50864-11,2}{2,1}=-1,2816,
e \Phi(-1,2816)\approx 0,10, conforme desejado. Tudo consistente — pronto para a prova!

Resposta

8,51 anos

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