No conjunto V=(x, y) ; x, y in R defina as seguintes operações
  • adição:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)
  • multiplicação por escalar:
alpha(x, y)=(alpha x, 0)
Nessas condições V é um espaço vetorial sobre R ? Por quê?

Passo 1

O enunciado define em V=(x,y);,x,yinR a adição usual
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2)
e uma multiplicação por escalar não usual
alpha,(x,y)=(alpha x,;0)
Queremos saber se (V,+,cdot) é um espaço vetorial sobre R. Para isso, precisamos verificar se (V,+) é um grupo abeliano e se a multiplicação por escalar satisfaz os oito axiomas de espaço vetorial.

Passo 2

Verificamos primeiro que (V,+) é um grupo abeliano:
  1. Fechamento: Se (x1,y1),(x2,y2)in V, então (x1+x2,y1+y2)in V.
  2. Associatividade: A soma é associativa pois é a soma componente a componente em R^2.
  3. Elemento neutro: (0,0) satisfaz (x,y)+(0,0)=(x,y).
  4. Inverso: Para (x,y), o inverso aditivo é (-x,-y) e (x,y)+(-x,-y)=(0,0).
  5. Comutatividade: (x1,y1)+(x2,y2)=(x2,y2)+(x1,y1).
Logo (V,+) é grupo abeliano.

Passo 3

Agora checamos os axiomas envolvendo multiplicação por escalar. Sejam alpha,betainR e u=(x,y),,v=(u1,u2)in V.
  1. alpha,(u+v)=alpha(x+u1,;y+u2) = (alpha(x+u1),,0).
    Por outro lado
    alpha u+alpha v = (alpha x,0)+(alpha u1,0) = (alpha x+alpha u1,,0).
    Como alpha(x+u1)=alpha x+alpha u1, esse axioma vale.
  2. (alpha+beta),u = ((alpha+beta)x,,0)
    enquanto
    alpha u+beta u = (alpha x,0)+(beta x,0) = ((alpha+beta)x,0).
    Portanto vale a distributividade em relação à soma de escalares.
  3. alpha(beta u)=alpha(beta x,0)=(alphabeta x,0) e
    (alphabeta)u=(alphabeta x,0).
    Logo vale a associatividade alpha(beta u)=(alphabeta)u.

Passo 4

Falta verificar o axioma da identidade escalar:
1cdot (x,y) = (1cdot x,;0) = (x,0)
Para ser espaço vetorial, deveríamos ter
1cdot (x,y) = (x,y)forall,(x,y)in V
Mas (x,0)neq(x,y) sempre que yneq0. Logo esse axioma falha.

Resposta

Não. O axioma que exige 1cdot v = v para todo vin V não é satisfeito, pois
1cdot(x,y)=(x,0)neq(x,y)quando yneq0

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