No conjunto
defina as seguintes operações
- adição:
- multiplicação por escalar:
Nessas condições
é um espaço vetorial sobre
? Por quê?
Passo 1
O enunciado define em
a adição usual
e uma multiplicação por escalar não usual
Queremos saber se
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos verificar se
é um grupo abeliano e se a multiplicação por escalar satisfaz os oito axiomas de espaço vetorial.
Passo 2
Verificamos primeiro que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: Se
, então . - Associatividade: A soma é associativa pois é a soma componente a componente em
. - Elemento neutro:
satisfaz . - Inverso: Para
, o inverso aditivo é e . - Comutatividade:
.
Logo
é grupo abeliano.
Passo 3
Agora checamos os axiomas envolvendo multiplicação por escalar. Sejam
e
.
-
.
Por outro lado
.
Como, esse axioma vale. -
enquanto
.
Portanto vale a distributividade em relação à soma de escalares. -
e
.
Logo vale a associatividade.
Passo 4
Falta verificar o axioma da identidade escalar:
Para ser espaço vetorial, deveríamos ter
Mas
sempre que
. Logo esse axioma falha.
Resposta
Não. O axioma que exige
para todo
não é satisfeito, pois