Seja
o conjunto dos pares ordenados de números reais com as seguintes operações
e
é espaço vetorial real? Explique.
Passo 1
O enunciado define em
as operações
e
Queremos saber se
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Em particular, vamos precisar checar se a distribuição do escalar sobre soma de escalares funciona, pois é aí que costuma ocorrer erro nesses exemplos.
Passo 2
Primeiro, vemos que
é a soma usual em
, logo é associativa, comutativa, tem elemento neutro
e todo
tem inverso
. Também
leva qualquer
em
, que permanece em
, então há fecho em multiplicação por escalar e a propriedade
está OK.
Passo 3
Checamos a distributividade do escalar sobre soma de vetores:
enquanto
Como
, essas duas expressões coincidem, então esse axioma está satisfeito.
Passo 4
Agora testamos a distributividade do escalar sobre soma de escalares:
por outro lado
Em geral
a menos que
. Logo esse axioma falha para vetores com
.
Resposta
Não. O conjunto
com essas operações não é espaço vetorial real, pois falha a lei
(exceto em casos triviais), quebrando um dos axiomas de espaço vetorial.