Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais com as seguintes operações
(x, y) oplus(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime)
e
k odot(x, y)=(x, k y)
V é espaço vetorial real? Explique.

Passo 1

O enunciado define em V=(x,y)mid x,yinR as operações
(x,y)oplus(x',y')=(x+x',,y+y')
e
kodot(x,y)=(x,,k,y)
Queremos saber se (V,oplus,odot) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Em particular, vamos precisar checar se a distribuição do escalar sobre soma de escalares funciona, pois é aí que costuma ocorrer erro nesses exemplos.

Passo 2

Primeiro, vemos que oplus é a soma usual em R^2, logo é associativa, comutativa, tem elemento neutro (0,0) e todo (x,y) tem inverso (-x,-y). Também odot leva qualquer (x,y) em (x,ky), que permanece em V, então há fecho em multiplicação por escalar e a propriedade
1odot(x,y)=(x,1cdot y)=(x,y)
está OK.

Passo 3

Checamos a distributividade do escalar sobre soma de vetores:
kodotl((x1,y1)oplus(x2,y2)r) =kodot(x1+x2,y1+y2) =(x1+x2,,k(y1+y2))
enquanto
kodot(x1,y1)oplus kodot(x2,y2) =(x1,ky1)oplus(x2,ky2) =(x1+x2,;k y1+k y2)
Como k(y1+y2)=k y1+k y2, essas duas expressões coincidem, então esse axioma está satisfeito.

Passo 4

Agora testamos a distributividade do escalar sobre soma de escalares:
(k+ell)odot(x,y)=(x,, (k+ell)y)
por outro lado
kodot(x,y)oplus ellodot(x,y) =(x,,k y)oplus(x,,ell y) =(x+x,;k y+ell y) =(2x,;(k+ell)y)
Em geral (x,(k+ell)y)neq(2x,(k+ell)y) a menos que x=0. Logo esse axioma falha para vetores com xneq0.

Resposta

Não. O conjunto V com essas operações não é espaço vetorial real, pois falha a lei
(k+ell)odot v = kodot v oplus ellodot v
(exceto em casos triviais), quebrando um dos axiomas de espaço vetorial.

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