Seja
o conjunto dos pares ordenados de números reais com as seguintes operações
e
é espaço vetorial real? Explique.
Passo 1
O enunciado define
com a soma padrão
e a multiplicação por escalar anômala
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais sobre
. Para mostrar que
não é espaço vetorial, basta encontrar um axioma de multiplicação escalar que falhe.
Passo 2
Primeiro, conferimos que
é um grupo abeliano: a soma é a usual em
, que é associativa, com elemento neutro
, inversos
e comutativa. Logo, todos os axiomas de adição estão satisfeitos.
Passo 3
Um dos axiomas de espaço vetorial exige que o escalar
seja elemento neutro da multiplicação escalar, ou seja,
Porém, na regra dada temos
Portanto esse axioma falha.