Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais com as seguintes operações
(x, y) oplus(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime)
e
k odot(x, y)=(0,0)
V é espaço vetorial real? Explique.

Passo 1

O enunciado define V=(x,y)mid x,yinR com a soma padrão
(x,y)oplus(x',y')=(x+x',,y+y')
e a multiplicação por escalar anômala
kodot(x,y)=(0,0)para todo kinR
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais sobre R. Para mostrar que V não é espaço vetorial, basta encontrar um axioma de multiplicação escalar que falhe.

Passo 2

Primeiro, conferimos que (V,oplus) é um grupo abeliano: a soma é a usual em R^2, que é associativa, com elemento neutro (0,0), inversos (x,y)^-1=(-x,-y) e comutativa. Logo, todos os axiomas de adição estão satisfeitos.

Passo 3

Um dos axiomas de espaço vetorial exige que o escalar 1 seja elemento neutro da multiplicação escalar, ou seja,
1odot(x,y) ;=;(x,y) para todo (x,y)in V
Porém, na regra dada temos
1odot(x,y)=(0,0)neq(x,y) sempre que (x,y)neq(0,0)
Portanto esse axioma falha.

Resposta

V não é um espaço vetorial real, pois não satisfaz o requisito 1odot v=v.

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