Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de . Em caso afirmativo exiba seus geradores. .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de e, em caso afirmativo, mostrar um conjunto de geradores. Aqui o espaço ambiente é o espaço vetorial das matrizes e vamos usar os critérios de fechamento em relação a soma e multiplicação por escalar, além de exibir uma base (ou geradores).
Passo 2
Fechamento sob soma: sejam
em . Então
e de fato a entrada coincide com a (), logo .
Passo 3
Fechamento sob escalar: seja e
Então
também satisfaz que a entrada é igual à , logo .
Passo 4
Vemos que a matriz zero
está em V. Com fechamento em soma, escalar e existência do zero, concluímos que V é subespaço de M2(R).
Passo 5
Para encontrar geradores, escrevemos a forma geral de um elemento de V:
a & b b & d =a1 & 0 0 & 0 +b0 & 1 1 & 0 +d0 & 0 0 & 1