Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M2(R). Em caso afirmativo exiba seus geradores.
V=[lla & b c & d] ; b=c.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V=la & b c & din M2(R)mid b=cr
é subespaço de M2(R) e, em caso afirmativo, mostrar um conjunto de geradores. Aqui o espaço ambiente é o espaço vetorial das matrizes 2times2 e vamos usar os critérios de fechamento em relação a soma e multiplicação por escalar, além de exibir uma base (ou geradores).

Passo 2

Fechamento sob soma: sejam
A=a & b b & d, B=a' & b' b' & d'
em V. Então
A+B =a+a' & b+b' b+b' & d+d'
e de fato a entrada (1,2) coincide com a (2,1) ( b+b'=b+b'), logo A+Bin V.

Passo 3

Fechamento sob escalar: seja lambdainR e
A=a & b b & din V
Então
lambda A =lambda a & lambda b lambda b & lambda d
também satisfaz que a entrada (1,2) é igual à (2,1), logo lambda Ain V.

Passo 4

Vemos que a matriz zero
0=0 & 0 0 & 0
está em V. Com fechamento em soma, escalar e existência do zero, concluímos que V é subespaço de M2(R).

Passo 5

Para encontrar geradores, escrevemos a forma geral de um elemento de V:
a & b b & d =a1 & 0 0 & 0 +b0 & 1 1 & 0 +d0 & 0 0 & 1
Logo um sistema de geradores (na verdade base) é
E11=1 & 0 0 & 0, E12+E21=0 & 1 1 & 0, E22=0 & 0 0 & 1

Resposta

Sim, V é subespaço de M2(R). Um conjunto de geradores (base) é
1 & 0 0 & 0, 0 & 1 1 & 0, 0 & 0 0 & 1

Exercícios relacionados