Seja W o conjunto das matrizes 3 times 3 da forma
[ccc a & 0 & b 0 & c & 0 d & 0 & e ]
W é um subespaço do espaço vetorial V de matrizes 3 times 3 ? Explique.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = a & 0 & b 0 & c & 0 d & 0 & e : a,b,c,d,einR
e pergunta se W é subespaço do espaço vetorial V=M3times3(R). Para isso, vamos usar a definição de subespaço: devemos verificar que (i) Wneqvarnothing, (ii) é fechado sob adição e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula
0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
pertence a W ao escolher a=b=c=d=e=0. Logo, Wneqvarnothing.

Passo 3

Sejam
A= a1 & 0 & b1 0 & c1 & 0 d1 & 0 & e1 e B= a2 & 0 & b2 0 & c2 & 0 d2 & 0 & e2
em W. Então
A+B = a1+a2 & 0 & b1+b2 0 & c1+c2 & 0 d1+d2 & 0 & e1+e2 ,
que tem a mesma forma e, portanto, A+Bin W. Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

Para qualquer escalar lambdainR e
A= a & 0 & b 0 & c & 0 d & 0 & e in W,
temos
lambda A = lambda a & 0 & lambda b 0 & lambda c & 0 lambda d & 0 & lambda e ,
que também está em W. Logo, W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

Sim, W é um subespaço de V.

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