Para o conjunto V definido como o conjunto de todos os vetores x em R^4 tais que a^T x = 0, b^T x = 0 e c^T x = 0, onde
& a=[l 1 0 1 0 ], b=[l 1 1 0 0 ], c=[c 0 1 -1 0 ]
encontre uma base para V.

Passo 1

O enunciado pede uma base de
V = ,xin R^4mid a^T x = 0,;b^T x = 0,;c^T x = 0,
onde
a=(1,0,1,0)^T, b=(1,1,0,0)^T, c=(0,1,-1,0)^T
O conteúdo é resolver o subespaço nulo de um sistema homogêneo Ax=0, sendo as linhas de A dadas por a^T,b^T,c^T.

Passo 2

Seja
x=(x1,x2,x3,x4)^T
As três equações são
x1 + x3 = 0, x1 + x2 = 0, x2 - x3 = 0
Repare que c = b - a, logo a terceira equação é combinação das duas primeiras e só precisamos de duas condições independentes.

Passo 3

Das duas primeiras equações temos
x1 = -x3, x2 = -x1 = x3
O quarto componente x4 é livre. Logo, definindo s = x3 e t = x4,
x = (x1,x2,x3,x4) = (-s,,s,,s,,0) + (0,,0,,0,,t)

Passo 4

A expressão paramétrica mostra que todo vetor de V é combinação linear de
(-1,1,1,0) e (0,0,0,1)
Esses dois vetores são linearmente independentes e geram V.

Resposta

Uma base de V é
,(-1,1,1,0),;(0,0,0,1)

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