Mostre que a transformação T: C([0,3]) P3(R) dada por T(f)(x) = f(0)x + f(2)x^2 + f(1)x + f(3)x^3 é linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Aqui a gente precisa mostrar que a transformação T: C([0,3]) P3(R) definida por T(f)(x) = f(0)x + f(2)x^2 + f(1)x + f(3)x^3 é linear. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas propriedades fundamentais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação T é linear se, para quaisquer funções f e g em C([0,3]) e para qualquer escalar alpha , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade: T(f + g) = T(f) + T(g)
  2. Homogeneidade: T(alpha f) = alpha T(f)
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação T dada.

Passo 3

Verificando a aditividade:
Vamos calcular T(f + g)(x) :
T(f + g)(x) = (f + g)(0)x + (f + g)(2)x^2 + (f + g)(1)x + (f + g)(3)x^3
Simplificando isso, temos:
T(f + g)(x) = [f(0) + g(0)]x + [f(2) + g(2)]x^2 + [f(1) + g(1)]x + [f(3) + g(3)]x^3
Agora, vamos calcular T(f)(x) + T(g)(x) :
T(f)(x) + T(g)(x) = [f(0)x + f(2)x^2 + f(1)x + f(3)x^3] + [g(0)x + g(2)x^2 + g(1)x + g(3)x^3]
Somando os termos correspondentes:
T(f)(x) + T(g)(x) = [f(0) + g(0)]x + [f(2) + g(2)]x^2 + [f(1) + g(1)]x + [f(3) + g(3)]x^3
Comparando com T(f + g)(x) , vemos que são iguais. Portanto, a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Vamos calcular T(alpha f)(x) :
T(alpha f)(x) = (alpha f)(0)x + (alpha f)(2)x^2 + (alpha f)(1)x + (alpha f)(3)x^3
Simplificando, temos:
T(alpha f)(x) = alpha f(0)x + alpha f(2)x^2 + alpha f(1)x + alpha f(3)x^3
Agora, vamos calcular alpha T(f)(x) :
alpha T(f)(x) = alpha [f(0)x + f(2)x^2 + f(1)x + f(3)x^3]
Distribuindo o alpha :
alpha T(f)(x) = alpha f(0)x + alpha f(2)x^2 + alpha f(1)x + alpha f(3)x^3
Comparando com T(alpha f)(x) , vemos que são iguais. Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade foram cumpridas, podemos concluir que a transformação T é linear.

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