Mostre que a transformação
dada por
é linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Aqui a gente precisa mostrar que a transformação
definida por
é linear. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas propriedades fundamentais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer funções
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação
dada.
Passo 3
Verificando a aditividade:
Vamos calcular
:
Simplificando isso, temos:
Agora, vamos calcular
:
Somando os termos correspondentes:
Comparando com
, vemos que são iguais. Portanto, a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Vamos calcular
:
Simplificando, temos:
Agora, vamos calcular
:
Distribuindo o
:
Comparando com
, vemos que são iguais. Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade foram cumpridas, podemos concluir que a transformação
é linear.