Questão 12: Qual deve ser o valor de m para que os vetores u=(2, m, 0), u=(1,-1,2) e w=(-1,3,-1) sejam coplanares?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(2,m,0), v=(1,-1,2) e w=(-1,3,-1), e pede o valor de m para que eles sejam coplanares.
Conteúdo: vetores coplanares em R^3 ocorrem quando o produto misto (ou triplo escalar) é zero.

Passo 2

A condição de coplanaridade é
(utimes v)cdot w = 0,
o que equivale ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de u,v,w igual a zero.

Passo 3

Montamos e expandimos o determinante:
2 & m & 0 1 & -1 & 2 -1 & 3 & -1 =2-1 & 23 & -1 - m1 & 2-1 & -1 +0cdot(cdots)
Calculando os menores:
-1 & 23 & -1 =(-1)(-1)-2cdot3=1-6=-5,
1 & 2-1 & -1 =1cdot(-1)-2cdot(-1)=-1+2=1
Logo o determinante é
2cdot(-5)-mcdot1=-10 - m

Passo 4

Impondo coplanaridade, temos
-10 - m = 0
Rightarrow m = -10

Resposta

m = -10

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