Encontre um autovetor associado a cada autovalor dado.
[rrr1 & 0 & -1 1 & -3 & 0 4 & -13 & 1] cdot lambda=-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um autovetor associado ao autovalor dado, que no caso é lambda = -2. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente trabalhando com matrizes, autovalores e autovetores. Para resolver, vamos usar a fórmula (A - lambda I)v = 0, onde A é a matriz dada, I é a matriz identidade e v é o autovetor que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz A - lambda I. A matriz A que a gente tem é:
A = 1 & 0 & -1 1 & -3 & 0 4 & -13 & 1
E a matriz identidade I de dimensão 3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Como lambda = -2, vamos calcular A - (-2)I = A + 2I:
A + 2I = 1+2 & 0 & -1 1 & -3+2 & 0 4 & -13 & 1+2 = 3 & 0 & -1 1 & -1 & 0 4 & -13 & 3

Passo 3

Agora, queremos resolver a equação (A + 2I)v = 0. Isso significa que estamos procurando vetores v = x y z que satisfazem:
3 & 0 & -1 1 & -1 & 0 4 & -13 & 3 x y z = 0 0 0
Isso dá o seguinte sistema de equações:
3x - z = 0 x - y = 0 4x - 13y + 3z = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, temos que x = y. Vamos usar isso nas outras equações.
Da primeira equação:
3x - z = 0 implies z = 3x
Agora, substituímos x = y e z = 3x na terceira equação:
4x - 13x + 3(3x) = 0 4x - 13x + 9x = 0 (4 - 13 + 9)x = 0 0x = 0
Isso significa que a terceira equação não traz nenhuma informação nova, então nossa solução depende de um parâmetro livre, que vamos chamar de x = t.
Então temos:
x = t y = t z = 3t

Resposta

Um autovetor associado ao autovalor lambda = -2 é qualquer vetor proporcional a 1 1 3. Ou seja,
v = t 1 1 3, t neq 0

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