No conjunto V=(x, y): x, y in R, definimos uma adição como sendo
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, 0)
e a multiplicação por escalares como
a(x, y)=(a x, 0), forall a in R
Determine se V é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

O enunciado define o conjunto V=(x,y)mid x,yinR com operações fora do padrão:
  • soma
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,0),
  • multiplicação por escalar
a,(x,y)=(a x,0)
Queremos verificar se esses operadores satisfazem os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Um dos axiomas básicos é a existência de elemento neutro aditivo ein V tal que, para todo (x,y)in V,
(x,y)+e=(x,y)
Suponha e=(e1,e2). Então
(x,y)+(e1,e2)=(x+e1,0)stackrel!=(x,y)
Para isso temos que
  1. x+e1 = x, ou seja, e1=0.
  2. 0=y para todo y, o que é impossível (não vale para yneq0).

Passo 3

Como não existe nenhum ein V que funcione como neutro aditivo para todos os vetores de V, falha o axioma do elemento neutro. Logo, não é necessário checar os outros axiomas: V não é um espaço vetorial.

Resposta

V não é um espaço vetorial sobre R.

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