No conjunto
, definimos uma adição como sendo
e a multiplicação por escalares como
Determine se
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com operações fora do padrão:
- soma
- multiplicação por escalar
Queremos verificar se esses operadores satisfazem os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Um dos axiomas básicos é a existência de elemento neutro aditivo
tal que, para todo
,
Suponha
. Então
Para isso temos que
-
, ou seja, . -
para todo , o que é impossível (não vale para ).
Passo 3
Como não existe nenhum
que funcione como neutro aditivo para todos os vetores de
, falha o axioma do elemento neutro. Logo, não é necessário checar os outros axiomas:
não é um espaço vetorial.