Quais dos seguintes conjuntos W são subespaços de R^3?
W=(x, y, z) in R^3: x in Z

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = (x,y,z)inR^3 : xinZ
e pergunta se W é subespaço vetorial de R^3. Para responder, vamos usar o critério de subespaço: (i) vetores nulos devem estar em W, (ii) W deve ser fechado sob soma e (iii) fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo 0=(0,0,0) pertence a W. Como 0inZ, temos 0in W. Portanto, a condição (i) está satisfeita.

Passo 3

Analisamos a soma de dois vetores em W. Se u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) pertencem a W, então x1,x2inZ. Logo,
u + v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e x1+x2inZ. Assim, u+vin W e W é fechado sob soma, satisfazendo (ii).

Passo 4

Testamos a multiplicação por escalar. Escolhemos v=(1,0,0)in W (pois 1inZ) e o escalar alpha = tfrac12. Então
alpha,v = l(tfrac12,0,0r)
mas tfrac12notinZ, logo alpha,vnotin W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalar, violando (iii).

Resposta

W não é subespaço de R^3, pois não é fechado sob multiplicação por escalar.

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