Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de ?
é irracional

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y,z)inR^3: x é irracionalé
e pergunta se W é um subespaço de R^3.
Para ser subespaço, W deve satisfazer:
  1. Conter o vetor zero.
  2. Ser fechado sob soma de vetores.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0,0). Aqui x=0 é racional, não irracional, então
(0,0,0)notin W
Como um subespaço precisa conter o vetor zero, W já falha nesse requisito.

Passo 3

Além disso, mesmo que ignorássemos o zero, se (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) têm x1,x2 irracionais, a soma
(x1+x2,y1+y2,z1+z2) pode ter x1+x2 racional, quebrando a clausura sob soma.

Resposta

W não é subespaço de R^3.

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