Seja
um número real e considere as retas
e
com seguintes equações com respeito ao sistema
:
onde
. Temos que as retas
e
sāo reversas se, e somente se:
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
;
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá duas retas em
em forma paramétrica:
onde
e
é parâmetro real. Queremos achar para que valores de
elas são reversas (isto é, nem paralelas nem concorrentes).
Passo 2
Verificamos primeiro se as direções são paralelas. As direções são
Para serem paralelas existiria
tal que
. Da componente
teríamos
, impossível. Logo
e
nunca são colineares, e as retas não são paralelas para qualquer
.
Passo 3
Como não são paralelas, elas são reversas justamente quando não se intersectam. Para checar interseção, imponho
Isso gera o sistema componente a componente:
Passo 4
Da primeira equação vem
beta=1 . Da terceira obtemos
alpha=beta=1 . Então da segunda surge
Portanto, se
b=1 as duas retas se cruzam (têm ponto em comum) e não são reversas.
Passo 5
Concluímos que, sendo elas sempre não paralelas, são reversas exatamente quando não intersectam, i.e., para
Resposta
(e)
b neq 1 .