Seja b um número real e considere as retas r e s com seguintes equações com respeito ao sistema S:
r: X=(1,0,0)+alpha(0,1,1) e s: X=(0, b, 0)+beta(1,0,1)
onde alpha, beta in R. Temos que as retas r e s sāo reversas se, e somente se:
(a) b neq 0;
(b) b neq 2;
(c) b neq-1;
(d) b neq-2;
(e) b neq 1.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 em forma paramétrica:
r:;X=(1,0,0)+alpha,(0,1,1), s:;X=(0,b,0)+beta,(1,0,1),
onde alpha,betainR e b é parâmetro real. Queremos achar para que valores de b elas são reversas (isto é, nem paralelas nem concorrentes).

Passo 2

Verificamos primeiro se as direções são paralelas. As direções são
u = (0,1,1), v = (1,0,1)
Para serem paralelas existiria lambda tal que u=lambda v. Da componente y teríamos 1=lambdacdot0, impossível. Logo u e v nunca são colineares, e as retas não são paralelas para qualquer b.

Passo 3

Como não são paralelas, elas são reversas justamente quando não se intersectam. Para checar interseção, imponho
(1,0,0)+alpha,(0,1,1) = (0,b,0)+beta,(1,0,1)
Isso gera o sistema componente a componente:
1 = beta, alpha = b, alpha = beta

Passo 4

Da primeira equação vem beta=1. Da terceira obtemos alpha=beta=1. Então da segunda surge
b = alpha = 1
Portanto, se b=1 as duas retas se cruzam (têm ponto em comum) e não são reversas.

Passo 5

Concluímos que, sendo elas sempre não paralelas, são reversas exatamente quando não intersectam, i.e., para
b neq 1

Resposta

(e) b neq 1.

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