De um conjunto de 7 estudantes, 3 homens e 4 mulheres, duas vão ser selecionadas. De quantas formas podemos selecionar? Qual seria a probabilidade de ter 2 homens?, e qual a probabilidade de ser 2 mulheres?.

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto de 7 estudantes, sendo 3 homens e 4 mulheres. Vamos selecionar 2 estudantes (sem ordem, isto é, um par). As perguntas são:
  1. De quantas formas podemos selecionar essas 2 pessoas?
  2. Qual a probabilidade de as duas serem homens?
  3. Qual a probabilidade de as duas serem mulheres?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;7 total de estudantes, \;3 homens, \;4 mulheres, e escolhemos \;2 sem considerar ordem (seleção combinatória).

Passo 2

Conceito que vamos usar: combinação (escolher sem ordem). A combinação de n elementos tomados k a k é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Aqui:
  • n é o número total de objetos disponíveis;
  • k é o número de objetos que queremos escolher;
  • \binom{n}{k} conta quantas seleções diferentes de tamanho k existem, sem considerar ordem.
Para probabilidades em escolhas sem reposição, usamos a regra:
\Pr(\text{evento})=\frac{\text{nº de seleções favoráveis}}{\text{nº total de seleções}}.ºçõáºçõ
Então primeiro vamos calcular o número total de seleções possíveis e depois o número de seleções favoráveis a cada evento.

Passo 3

Calcular o número total de maneiras de escolher 2 dentre 7:
\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7\cdot6\cdot5!}{2\cdot1\cdot5!}=\frac{7\cdot6}{2}=21.
Portanto, existem 21 pares possíveis (isso responde a parte do “de quantas formas podemos selecionar?”).

Passo 4

Calcular o número de seleções favoráveis ao evento “2 homens”: escolher 2 entre os 3 homens:
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!1!}=\frac{3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot1}=3.
Então há 3 pares formados por dois homens.

Passo 5

Agora a probabilidade de obter exatamente 2 homens é
\Pr(\text{2 homens})=\frac{\binom{3}{2}}{\binom{7}{2}}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}.
Explicando em palavras: dos 21 pares possíveis, 3 são formados por dois homens, então a chance é 3/21, que simplifica para 1/7 (aprox. 0,1429).

Passo 6

Calcular o número de seleções favoráveis ao evento “2 mulheres”: escolher 2 entre as 4 mulheres:
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4\cdot3}{2}=6.
Então há 6 pares formados por duas mulheres.

Passo 7

A probabilidade de obter exatamente 2 mulheres é
\Pr(\text{2 mulheres})=\frac{\binom{4}{2}}{\binom{7}{2}}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}.
Em palavras: dos 21 pares possíveis, 6 são formados por duas mulheres, então a chance é 6/21, que simplifica para 2/7 (aprox. 0,2857).

Passo 8

Verificação alternativa (sequencial, sem combinação) só para intuição: probabilidade de primeiro pegar um homem e depois outro homem sem reposição é
\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}=\frac{6}{42}=\frac{1}{7},
o mesmo resultado obtido por combinação. Isso confirma que nosso raciocínio combinatório está correto.

Resposta

\text{Número de formas}=\;21ú
\Pr(\text{2 homens})=\;\frac{1}{7}
\Pr(\text{2 mulheres})=\;\frac{2}{7}

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