De um conjunto de 7 estudantes, 3 homens e 4 mulheres, duas vão ser selecionadas. De quantas formas podemos selecionar? Qual seria a probabilidade de ter 2 homens?, e qual a probabilidade de ser 2 mulheres?.
Passo 1
O enunciado diz que temos um conjunto de
estudantes, sendo
homens e
mulheres. Vamos selecionar
estudantes (sem ordem, isto é, um par). As perguntas são:
- De quantas formas podemos selecionar essas
pessoas? - Qual a probabilidade de as duas serem homens?
- Qual a probabilidade de as duas serem mulheres?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
total de estudantes,
homens,
mulheres, e escolhemos
sem considerar ordem (seleção combinatória).
Passo 2
Conceito que vamos usar: combinação (escolher sem ordem). A combinação de
elementos tomados
a
é dada por
onde
(fatorial de
) significa
. Aqui:
-
é o número total de objetos disponíveis; -
é o número de objetos que queremos escolher; -
conta quantas seleções diferentes de tamanho existem, sem considerar ordem.
Para probabilidades em escolhas sem reposição, usamos a regra:
Então primeiro vamos calcular o número total de seleções possíveis e depois o número de seleções favoráveis a cada evento.
Passo 3
Calcular o número total de maneiras de escolher
dentre
:
Portanto, existem
pares possíveis (isso responde a parte do “de quantas formas podemos selecionar?”).
Passo 4
Calcular o número de seleções favoráveis ao evento “2 homens”: escolher
entre os
homens:
Então há
pares formados por dois homens.
Passo 5
Agora a probabilidade de obter exatamente
homens é
Explicando em palavras: dos
pares possíveis,
são formados por dois homens, então a chance é
, que simplifica para
(aprox.
).
Passo 6
Calcular o número de seleções favoráveis ao evento “2 mulheres”: escolher
entre as
mulheres:
Então há
pares formados por duas mulheres.
Passo 7
A probabilidade de obter exatamente
mulheres é
Em palavras: dos
pares possíveis,
são formados por duas mulheres, então a chance é
, que simplifica para
(aprox.
).
Passo 8
Verificação alternativa (sequencial, sem combinação) só para intuição: probabilidade de primeiro pegar um homem e depois outro homem sem reposição é
o mesmo resultado obtido por combinação. Isso confirma que nosso raciocínio combinatório está correto.