Dois dados são lançados na vez, assumindo que eles são iguais, qual é a probabilidade de a soma ser: a) 12 ; b) maior do que 5 ; c)par; d) maior do que 5 e par.

Passo 1

O enunciado: lançam-se dois dados simultaneamente e nos pede, assumindo que os dados são idênticos e justos (ou seja, cada face de cada dado tem probabilidade igual), as probabilidades de quatro eventos. Perguntas específicas:
a) Qual a probabilidade de a soma ser 12?
b) Qual a probabilidade de a soma ser maior do que 5?
c) Qual a probabilidade de a soma ser par?
d) Qual a probabilidade de a soma ser maior do que 5 e par?
Informações dadas importantes:
  • Cada dado tem as faces \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Os lançamentos são independentes e cada par ordenado (i,j) com i no primeiro dado e j no segundo é igualmente provável.
  • Vou usar esses dados para contar resultados favoráveis e o total de resultados possíveis.

Passo 2

Regra básica de probabilidade usada: se todos os resultados do espaço amostral são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento A é
P(A)=\frac{\text{número de resultados favoráveis a }A}{\text{número total de resultados}}.úáú
Aqui vou aplicar essa fórmula várias vezes. Explico como contar os resultados: cada dado tem 6 resultados, então o número total de pares ordenados é 6\cdot6. Cada par ordenado corresponde a um resultado distinto (\text{dado1},\text{dado2}).

Passo 3

Calcular o tamanho do espaço amostral:
\text{total} = 6\cdot 6 = 36.
Portanto, sempre que eu contar k resultados favoráveis, a probabilidade será \dfrac{k}{36}, que depois podemos simplificar.

Passo 4

(a) Soma igual a 12.
Contagem: para a soma ser 12 com dois dados, precisamos de (6,6). Não existe outro par ordenado que some 12.
Então o número de resultados favoráveis é 1.
Logo
P(\text{soma}=12)=\frac{1}{36}.

Passo 5

(b) Soma maior do que 5, isto é soma \in\{6,7,8,9,10,11,12\}.
Uma forma simples é calcular o complementar: somas menores ou iguais a 5 são \{2,3,4,5\}. Vou contar quantas maneiras cada soma menor ou igual a 5 ocorre (isso é uma técnica padrão: contar quantas combinações dão cada soma).
Contagens conhecidas (ou obtidas listando pares):
  • soma 2: 1 jeito (1,1).
  • soma 3: 2 jeitos (1,2),(2,1).
  • soma 4: 3 jeitos (1,3),(2,2),(3,1).
  • soma 5: 4 jeitos (1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
Somando:
\text{jeitos com soma}\le5 = 1+2+3+4 = 10.
Portanto os jeitos com soma >5 são
36-10 = 26.
Logo
P(\text{soma}>5)=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}.

Passo 6

(c) Soma par.
Observação sobre paridade: a soma de dois números inteiros é par exatamente quando os dois têm a mesma paridade (ou seja, ambos pares ou ambos ímpares). Cada dado tem 3 faces pares \{2,4,6\} e 3 faces ímpares \{1,3,5\}.
Contagens:
  • ambos pares: 3\cdot 3 = 9 pares ordenados;
  • ambos ímpares: 3\cdot 3 = 9 pares ordenados.
Total de resultados com soma par: 9+9=18.
Logo
P(\text{soma par})=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}.

Passo 7

(d) Soma maior do que 5 e par (interseção dos dois eventos).
Primeiro identifique quais somas são pares e maiores que 5: \{6,8,10,12\}.
Usamos as contagens padrão por soma (essas contagens são bem conhecidas ou obtidas listando pares):
  • soma 6: 5 jeitos.
  • soma 8: 5 jeitos.
  • soma 10: 3 jeitos.
  • soma 12: 1 jeito.
Somando:
5+5+3+1 = 14.
Portanto há 14 resultados favoráveis ao evento “soma >5 e par”.
Logo
P(\text{soma}>5 \text{ e par})=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}.

Resposta

(a) \dfrac{1}{36}
(b) \dfrac{13}{18}
(c) \dfrac{1}{2}
(d) \dfrac{7}{18}

Exercícios relacionados