Dois dados são lançados na vez, assumindo que eles são iguais, qual é a probabilidade de a soma ser: a) 12 ; b) maior do que 5 ; c)par; d) maior do que 5 e par.
Passo 1
O enunciado: lançam-se dois dados simultaneamente e nos pede, assumindo que os dados são idênticos e justos (ou seja, cada face de cada dado tem probabilidade igual), as probabilidades de quatro eventos. Perguntas específicas:
a) Qual a probabilidade de a soma ser ?
b) Qual a probabilidade de a soma ser maior do que ?
c) Qual a probabilidade de a soma ser par?
d) Qual a probabilidade de a soma ser maior do que e par?
a) Qual a probabilidade de a soma ser
b) Qual a probabilidade de a soma ser maior do que
c) Qual a probabilidade de a soma ser par?
d) Qual a probabilidade de a soma ser maior do que
Informações dadas importantes:
- Cada dado tem as faces
. - Os lançamentos são independentes e cada par ordenado
com no primeiro dado e no segundo é igualmente provável. - Vou usar esses dados para contar resultados favoráveis e o total de resultados possíveis.
Passo 2
Regra básica de probabilidade usada: se todos os resultados do espaço amostral são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento
é
Aqui vou aplicar essa fórmula várias vezes. Explico como contar os resultados: cada dado tem
resultados, então o número total de pares ordenados é
. Cada par ordenado corresponde a um resultado distinto
.
Passo 3
Calcular o tamanho do espaço amostral:
Portanto, sempre que eu contar
resultados favoráveis, a probabilidade será
, que depois podemos simplificar.
Passo 4
(a) Soma igual a
.
Contagem: para a soma ser
com dois dados, precisamos de
. Não existe outro par ordenado que some
.
Então o número de resultados favoráveis é .
Então o número de resultados favoráveis é
Logo
Passo 5
(b) Soma maior do que
, isto é soma
.
Uma forma simples é calcular o complementar: somas menores ou iguais a
são
. Vou contar quantas maneiras cada soma menor ou igual a
ocorre (isso é uma técnica padrão: contar quantas combinações dão cada soma).
Contagens conhecidas (ou obtidas listando pares):
- soma
: jeito . - soma
: jeitos . - soma
: jeitos . - soma
: jeitos .
Somando:
Portanto os jeitos com soma
são
Logo
Passo 6
(c) Soma par.
Observação sobre paridade: a soma de dois números inteiros é par exatamente quando os dois têm a mesma paridade (ou seja, ambos pares ou ambos ímpares). Cada dado tem
faces pares
e
faces ímpares
.
Contagens:
- ambos pares:
pares ordenados; - ambos ímpares:
pares ordenados.
Total de resultados com soma par:
.
Logo
Passo 7
(d) Soma maior do que
e par (interseção dos dois eventos).
Primeiro identifique quais somas são pares e maiores que
:
.
Usamos as contagens padrão por soma (essas contagens são bem conhecidas ou obtidas listando pares):
- soma
: jeitos. - soma
: jeitos. - soma
: jeitos. - soma
: jeito.
Somando:
Portanto há
resultados favoráveis ao evento “soma
e par”.
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)