No jogo de volei, o treinador do time brasileiro ecolhe 6 jogadoras daas 12 que foram ao jogo. Delas se sabe que 6 são as titulares do time. Qual é a probabilidade de um instante do jogo 5 titulares estejam jogando?, e qual é a probabilidade de num instante de jogo ao menos 5 titulares estejam jogando?
Passo 1
O enunciado diz que há
jogadoras disponíveis e o treinador escolhe
para estar em quadra num instante. Dessas
,
são titulares. O que se pede:
- A probabilidade de que exatamente
titulares estejam jogando num instante. - A probabilidade de que, num instante, haja ao menos
titulares jogando (ou seja, exatamente ou exatamente ).
Informações importantes extraídas do enunciado: o sorteio/seleção dasjogadoras é equiprovável entre todas as combinações possíveis de dentre .
Passo 2
Primeiro precisamos contar o número total de maneiras de escolher
jogadoras dentre
. Para isso usamos combinações (escolhas sem ordem). A combinação é dada por
onde
(fatorial) é o produto
. Aqui
e
, então
Para calcular sem usar calculadora, podemos simplificar:
Fazendo as simplificações passo a passo (por exemplo, dividir
por
,
por
, etc.) obtemos
Esse é o número total de seleções possíveis (espaço amostral).
Passo 3
Agora calculamos a probabilidade de exatamente
titulares na quadra. Para isso contamos quantas seleções de
contêm exatamente
titulares.
- Devemos escolher
das titulares: . - E escolher
das não-titulares (as reservas): .
Pelo princípio multiplicativo, o número de seleções favoráveis é
Calculando:
logo favoráveis
. A probabilidade é razão entre favoráveis e total:
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
):
Explicação conceitual rápida: esse cálculo segue a distribuição hipergeométrica, cuja fórmula geral é
onde
é o total de itens (
),
é o número de “sucessos” na população (
titulares),
é o número de itens sorteados (
em quadra) e
é o número de sucessos desejados (
).
Passo 4
Agora calculamos a probabilidade de exatamente
titulares jogando. Fazemos a mesma ideia:
- Escolher
titulares dentre as : . - Escolher
não-titulares dentre as : .
Então háseleção favorável, e
Passo 5
A probabilidade de “ao menos
” titulares é a soma das probabilidades de “exatamente
” e “exatamente
”, porque esses eventos são disjuntos. Assim
Essa fração não simplifica (pois
é primo e não divide
). Em valor aproximado,