No jogo de volei, o treinador do time brasileiro ecolhe 6 jogadoras daas 12 que foram ao jogo. Delas se sabe que 6 são as titulares do time. Qual é a probabilidade de um instante do jogo 5 titulares estejam jogando?, e qual é a probabilidade de num instante de jogo ao menos 5 titulares estejam jogando?

Passo 1

O enunciado diz que há \,12 jogadoras disponíveis e o treinador escolhe \,6 para estar em quadra num instante. Dessas \,12, \,6 são titulares. O que se pede:
  1. A probabilidade de que exatamente \,5 titulares estejam jogando num instante.
  2. A probabilidade de que, num instante, haja ao menos \,5 titulares jogando (ou seja, exatamente \,5 ou exatamente \,6).
    Informações importantes extraídas do enunciado: o sorteio/seleção das \,6 jogadoras é equiprovável entre todas as combinações possíveis de \,6 dentre \,12.

Passo 2

Primeiro precisamos contar o número total de maneiras de escolher \,6 jogadoras dentre \,12. Para isso usamos combinações (escolhas sem ordem). A combinação é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde \,n! (fatorial) é o produto \,n\times(n-1)\times\cdots\times1. Aqui \,n=\!12 e \,k=\!6, então
\binom{12}{6}=\frac{12!}{6!\,6!}.
Para calcular sem usar calculadora, podemos simplificar:
\binom{12}{6}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as simplificações passo a passo (por exemplo, dividir 12 por 6, 10 por 5, etc.) obtemos
\binom{12}{6}=924.
Esse é o número total de seleções possíveis (espaço amostral).

Passo 3

Agora calculamos a probabilidade de exatamente \,5 titulares na quadra. Para isso contamos quantas seleções de \,6 contêm exatamente \,5 titulares.
  • Devemos escolher \,5 das \,6 titulares: \displaystyle \binom{6}{5}.
  • E escolher \,1 das \,6 não-titulares (as reservas): \displaystyle \binom{6}{1}.
    Pelo princípio multiplicativo, o número de seleções favoráveis é
\binom{6}{5}\cdot\binom{6}{1}.
Calculando:
\binom{6}{5}=6,\qquad \binom{6}{1}=6,
logo favoráveis =6\cdot6=36. A probabilidade é razão entre favoráveis e total:
P(\text{exatamente }5)=\frac{36}{924}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por \,12):
\frac{36}{924}=\frac{3}{77}.
Explicação conceitual rápida: esse cálculo segue a distribuição hipergeométrica, cuja fórmula geral é
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},
onde \,N é o total de itens ( 12), \,K é o número de “sucessos” na população ( 6 titulares), \,n é o número de itens sorteados ( 6 em quadra) e \,k é o número de sucessos desejados ( 5).

Passo 4

Agora calculamos a probabilidade de exatamente \,6 titulares jogando. Fazemos a mesma ideia:
  • Escolher \,6 titulares dentre as \,6: \displaystyle \binom{6}{6}=1.
  • Escolher \,0 não-titulares dentre as \,6: \displaystyle \binom{6}{0}=1.
    Então há 1 seleção favorável, e
P(\text{exatamente }6)=\frac{1}{924}.

Passo 5

A probabilidade de “ao menos \,5” titulares é a soma das probabilidades de “exatamente \,5” e “exatamente \,6”, porque esses eventos são disjuntos. Assim
P(\text{ao menos }5)=P(\text{exatamente }5)+P(\text{exatamente }6)=\frac{36}{924}+\frac{1}{924}=\frac{37}{924}.
Essa fração não simplifica (pois \,37 é primo e não divide \,924). Em valor aproximado,
\frac{37}{924}\approx 0,04004.

Resposta

\dfrac{3}{77}
\dfrac{37}{924}

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