Pedro têm um chaveiro com 12 chaves, só uma delas consegue abrir a porta, responda: (a) Qual é a probabilidade de abrir a porta na 5a tentativa, se ele separa cada chave que usa das não utilizadas ainda?.
(b) E se ele não separa a chave utilizada, ele testa as chaves até abrir a porta. Qual é numero esperado de tentativas?

Passo 1

O enunciado: Pedro tem um chaveiro com 12 chaves e só uma abre a porta. São duas perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de abrir a porta na 5ª tentativa se ele separa cada chave que usa das não utilizadas (ou seja, não repete chaves já testadas)?
(b) Se ele NÃO separa a chave utilizada (ou seja, pode testar a mesma chave várias vezes), qual é o número esperado de tentativas até abrir a porta?
Informações relevantes dadas:
  • Total de chaves: 12.
  • Apenas uma chave é correta.
  • Em (a) as tentativas são sem reposição (não repete chaves já testadas).
  • Em (b) as tentativas são com reposição (pode repetir a mesma chave em tentativas diferentes).
  • Queremos (a) uma probabilidade exata e (b) o valor esperado do número de tentativas.

Passo 2

Entendendo bem o cenário de (a): “separa cada chave que usa das não utilizadas” significa que, a cada tentativa, ele escolhe uma chave aleatoriamente entre as que ainda não foram testadas; se falhar, essa chave é retirada e não é usada de novo. Isso é um processo sem reposição. Uma maneira direta de pensar é escrever a probabilidade de: as primeiras 4 tentativas serem erradas e a 5ª ser a correta. Vou montar essa expressão passo a passo.

Passo 3

Calculemos a probabilidade passo a passo para (a):
  • Probabilidade da 1ª tentativa ser errada: há 11 chaves erradas entre 12, então \dfrac{11}{12}.
  • Dada a 1ª errada e sem reposição, na 2ª tentativa restam 11 chaves no chaveiro, sendo 10 erradas, então probabilidade de errar na 2ª é \dfrac{10}{11}.
  • Na 3ª tentativa a mesma lógica dá \dfrac{9}{10}.
  • Na 4ª tentativa é \dfrac{8}{9}.
  • Se as quatro primeiras falham, restará exatamente 1 chave correta entre as 8 chaves restantes, logo a probabilidade da 5ª tentativa ser correta é \dfrac{1}{8}.
A probabilidade conjunta de primeiro quatro erradas e quinta correta é o produto dessas probabilidades:
\frac{11}{12}\cdot\frac{10}{11}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{8}.

Passo 4

Simplificação do produto de (a): note que os fatores se cancelam em cascata (telescopagem):
\frac{11}{12}\cdot\frac{10}{11}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{12}.
Intuição direta (alternativa curta): sem reposição todas as ordens das 12 chaves são igualmente prováveis, então a posição da chave correta é uniforme entre 1 e 12; a chance de ela estar exatamente na posição 5 é \dfrac{1}{12}. Ambas as abordagens levam ao mesmo resultado.

Passo 5

Entendendo (b): “ele não separa a chave utilizada” indica que após testar uma chave ele a devolve ao conjunto — ou equivalentemente, cada tentativa é independente e a probabilidade de sucesso a cada tentativa é sempre a mesma. Em cada tentativa, existe exatamente 1 chave correta entre 12, então a probabilidade de sucesso em qualquer tentativa é
p=\frac{1}{12}.
O número de tentativas até o primeiro sucesso, nesse modelo, segue uma distribuição geométrica com parâmetro p.

Passo 6

Explicando a distribuição geométrica e o cálculo do valor esperado (didático):
  • A distribuição geométrica descreve o número de tentativas necessárias até a primeira ocorrência de um “sucesso” em experimentos independentes com mesma probabilidade p de sucesso por tentativa.
  • Se N é o número de tentativas até o primeiro sucesso, então
\mathbb{P}(N=k)=(1-p)^{k-1}p\qquad\text{para }k=1,2,3,\dots
  • O valor esperado de N é
\mathbb{E}[N]=\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}p.
Há uma soma padrão que resulta em \dfrac{1}{p}. Posso mostrar rapidamente a demonstração curta: considere a série geométrica \sum_{k=0}^{\infty} x^k=\dfrac{1}{1-x} para |x|<1. Derivando ambos os lados em relação a x e multiplicando convenientemente chega-se em
\sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^2}.
Tomando x=1-p e multiplicando por p obtém-se \mathbb{E}[N]=1/p.

Passo 7

Aplicando em (b) com p=\dfrac{1}{12}:
\mathbb{E}[N]=\frac{1}{p}=\frac{1}{1/12}=12.
Intuição: se cada tentativa tem probabilidade 1/12 e as tentativas são independentes, em média são necessárias 12 tentativas até conseguir o sucesso.

Passo 8

Comentário de comparação (motivacional rápido): se ele não repete chaves, a posição média da chave correta seria \dfrac{1+12}{2}=\dfrac{13}{2}=6{,}5 tentativas em média; se ele repete (com reposição) a média sobe para 12. Ou seja, estranhamente, repetir chaves piora muito a expectativa — outro bom motivo prático para separar as chaves usadas! Você já está indo bem ao perceber esses contrastes 😃

Resposta

(a) \dfrac{1}{12}\n(b) 12

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