Pedro têm um chaveiro com 12 chaves, só uma delas consegue abrir a porta, responda: (a) Qual é a probabilidade de abrir a porta na 5a tentativa, se ele separa cada chave que usa das não utilizadas ainda?.
(b) E se ele não separa a chave utilizada, ele testa as chaves até abrir a porta. Qual é numero esperado de tentativas?
(b) E se ele não separa a chave utilizada, ele testa as chaves até abrir a porta. Qual é numero esperado de tentativas?
Passo 1
O enunciado: Pedro tem um chaveiro com
chaves e só uma abre a porta. São duas perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de abrir a porta na ª tentativa se ele separa cada chave que usa das não utilizadas (ou seja, não repete chaves já testadas)?
(b) Se ele NÃO separa a chave utilizada (ou seja, pode testar a mesma chave várias vezes), qual é o número esperado de tentativas até abrir a porta?
(a) Qual é a probabilidade de abrir a porta na
(b) Se ele NÃO separa a chave utilizada (ou seja, pode testar a mesma chave várias vezes), qual é o número esperado de tentativas até abrir a porta?
Informações relevantes dadas:
- Total de chaves:
. - Apenas uma chave é correta.
- Em (a) as tentativas são sem reposição (não repete chaves já testadas).
- Em (b) as tentativas são com reposição (pode repetir a mesma chave em tentativas diferentes).
- Queremos (a) uma probabilidade exata e (b) o valor esperado do número de tentativas.
Passo 2
Entendendo bem o cenário de (a): “separa cada chave que usa das não utilizadas” significa que, a cada tentativa, ele escolhe uma chave aleatoriamente entre as que ainda não foram testadas; se falhar, essa chave é retirada e não é usada de novo. Isso é um processo sem reposição. Uma maneira direta de pensar é escrever a probabilidade de: as primeiras
tentativas serem erradas e a
ª ser a correta. Vou montar essa expressão passo a passo.
Passo 3
Calculemos a probabilidade passo a passo para (a):
- Probabilidade da 1ª tentativa ser errada: há
chaves erradas entre , então . - Dada a 1ª errada e sem reposição, na 2ª tentativa restam
chaves no chaveiro, sendo erradas, então probabilidade de errar na 2ª é . - Na 3ª tentativa a mesma lógica dá
. - Na 4ª tentativa é
. - Se as quatro primeiras falham, restará exatamente
chave correta entre as chaves restantes, logo a probabilidade da 5ª tentativa ser correta é .
A probabilidade conjunta de primeiro quatro erradas e quinta correta é o produto dessas probabilidades:
Passo 4
Simplificação do produto de (a): note que os fatores se cancelam em cascata (telescopagem):
Intuição direta (alternativa curta): sem reposição todas as ordens das
chaves são igualmente prováveis, então a posição da chave correta é uniforme entre
e
; a chance de ela estar exatamente na posição
é
. Ambas as abordagens levam ao mesmo resultado.
Passo 5
Entendendo (b): “ele não separa a chave utilizada” indica que após testar uma chave ele a devolve ao conjunto — ou equivalentemente, cada tentativa é independente e a probabilidade de sucesso a cada tentativa é sempre a mesma. Em cada tentativa, existe exatamente
chave correta entre
, então a probabilidade de sucesso em qualquer tentativa é
O número de tentativas até o primeiro sucesso, nesse modelo, segue uma distribuição geométrica com parâmetro
.
Passo 6
Explicando a distribuição geométrica e o cálculo do valor esperado (didático):
- A distribuição geométrica descreve o número de tentativas necessárias até a primeira ocorrência de um “sucesso” em experimentos independentes com mesma probabilidade
de sucesso por tentativa. - Se
é o número de tentativas até o primeiro sucesso, então
- O valor esperado de
é
Há uma soma padrão que resulta em
. Posso mostrar rapidamente a demonstração curta: considere a série geométrica
para
. Derivando ambos os lados em relação a
e multiplicando convenientemente chega-se em
Tomando
e multiplicando por
obtém-se
.
Passo 7
Aplicando em (b) com
:
Intuição: se cada tentativa tem probabilidade
e as tentativas são independentes, em média são necessárias
tentativas até conseguir o sucesso.
Passo 8
Comentário de comparação (motivacional rápido): se ele não repete chaves, a posição média da chave correta seria
tentativas em média; se ele repete (com reposição) a média sobe para
. Ou seja, estranhamente, repetir chaves piora muito a expectativa — outro bom motivo prático para separar as chaves usadas! Você já está indo bem ao perceber esses contrastes 😃
Resposta
(a)
\n(b)