4- Para quaisquer subconjuntos X, Y subset R, prove que int(X cap Y)=int(X) cap int(Y) e int(X cup Y) supset int(X) cup int(Y). Dê um exemplo em que a inclusão não se reduza a uma igualdade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades envolvendo a operação de interior em topologia no espaço real: que o interior de uma interseção é a interseção dos interiores, e que o interior de uma união contém a união dos interiores. Vamos usar a definição de interior como o maior conjunto aberto contido em cada conjunto.

Passo 2

Começando pela interseção, note que por monotonicidade do operador interior, se Xcap Ysubset X então int(Xcap Y)subset int(X). De modo análogo int(Xcap Y)subset int(Y). Juntando, obtemos
int(Xcap Y)subset int(X)cap int(Y)
Por outro lado, sendo int(X) e int(Y) abertos contidos em X e Y respectivamente, o seu conjunto-interseção também é aberto e está em Xcap Y. Logo
int(X)cap int(Y)subset int(Xcap Y)
Com isso, concluímos
int(Xcap Y)=int(X)cap int(Y)

Passo 3

Para a união, observe que int(X) e int(Y) são abertos em R, logo a união
int(X)cup int(Y)
é aberta. Além disso, ela está contida em Xcup Y. Como o interior de um conjunto é o maior aberto contido nele, segue-se imediatamente que
int(Xcup Y)supset int(X)cup int(Y)

Passo 4

Um exemplo em que a inclusão da união é estrita é dado por
X=[0,1] e Y=[1,2].
Nesse caso
int(X)=(0,1),
int(Y)=(1,2),
então
int(X)cup int(Y)=(0,1)cup(1,2)
e
int(Xcup Y)=int([0,2])=(0,2),
mostrando que
(0,1)cup(1,2)subsetneq(0,2).

Resposta

int(Xcap Y)=int(X)cap int(Y) e int(Xcup Y)supset int(X)cup int(Y). Um exemplo de inclusão estrita é para X=[0,1] e Y=[1,2], pois int(X)cupint(Y)=(0,1)cup(1,2)subsetneq(0,2)=int(Xcup Y).

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