4- Para quaisquer subconjuntos
, prove que
e
. Dê um exemplo em que a inclusão não se reduza a uma igualdade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas propriedades envolvendo a operação de interior em topologia no espaço real: que o interior de uma interseção é a interseção dos interiores, e que o interior de uma união contém a união dos interiores. Vamos usar a definição de interior como o maior conjunto aberto contido em cada conjunto.
Passo 2
Começando pela interseção, note que por monotonicidade do operador interior, se
então
. De modo análogo
. Juntando, obtemos
Por outro lado, sendo
e
abertos contidos em
e
respectivamente, o seu conjunto-interseção também é aberto e está em
. Logo
Com isso, concluímos
Passo 3
Para a união, observe que
e
são abertos em
, logo a união
é aberta. Além disso, ela está contida em
. Como o interior de um conjunto é o maior aberto contido nele, segue-se imediatamente que
Passo 4
Um exemplo em que a inclusão da união é estrita é dado por
e
.
Nesse caso
Nesse caso
então
e
mostrando que
.