(a) O que é um conjunto fechado em \mathbb{R}^{2} ? O que é um conjunto limitado?
(b) Dê o enunciado do Teorema dos Valores Extremos para as funções de duas variáveis.
(c) Como achar os valores que o Teorema dos Valores Extremos garante existirem?

Passo 1

O enunciado tem três partes. Na parte (a) pede definições de conjunto fechado e de conjunto limitado em \mathbb{R}^2. Na parte (b) pede o enunciado do Teorema dos Valores Extremos (TVE) para funções f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}. Na parte (c) quer saber o procedimento prático para encontrar os pontos de mínimo e máximo que o TVE garante existir. Vamos usar conceitos de topologia em \mathbb{R}^2, noções de continuidade e o método de críticos internos e análise do contorno.

Passo 2

Definição de conjunto fechado em \mathbb{R}^2. Um conjunto D\subset\mathbb{R}^2 é fechado se ele contém todos os seus pontos-limite, isto é, sempre que uma sequência (x_n,y_n)\in D converge para algum (x,y)\in\mathbb{R}^2, temos (x,y)\in D. Equivalentemente, o complemento \mathbb{R}^2\setminus D é um conjunto aberto.
Definição de conjunto limitado em \mathbb{R}^2. Um conjunto D\subset\mathbb{R}^2 é limitado se existe M>0 tal que para todo (x,y)\in D vale
\sqrt{x^2+y^2}\le M.
Ou seja, D cabe dentro de um disco de raio finito centrado na origem.

Passo 3

Enunciado do Teorema dos Valores Extremos para funções de duas variáveis. Seja D\subset\mathbb{R}^2 um conjunto que seja fechado e limitado (o que torna D compacto) e seja f\colon D\to\mathbb{R} uma função contínua. Então existem pontos (x_{\min},y_{\min})\in D e (x_{\max},y_{\max})\in D tais que
f(x_{\min},y_{\min}) = \min_{(x,y)\in D} f(x,y), \quad f(x_{\max},y_{\max}) = \max_{(x,y)\in D} f(x,y).
Ou seja, f atinge seus valores mínimo e máximo globais em D.

Passo 4

Como achar esses valores garantidos pelo teorema? O procedimento é:
  1. Procurar os pontos críticos no interior de D, resolvendo o sistema
\nabla f(x,y) = \bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr) = (0,0),
ou verificando onde as derivadas parciais não existem.
2) Analisar o contorno \partial D. Se \partial D for uma curva ou várias curvas conhecidas, parametriza-se cada uma e aplica-se o Teorema dos Valores Extremos em uma dimensão (ou usa-se multiplicadores de Lagrange se o contorno é dado por uma equação g(x,y)=0).
3) Avaliar f em todos os candidatos (pontos críticos internos e pontos de contorno) e comparar os valores. O menor será o mínimo global e o maior será o máximo global.

Resposta

(a) Um subconjunto D\subset\mathbb{R}^2 é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou se seu complementar é aberto). É limitado se existe M>0 tal que \sqrt{x^2+y^2}\le M para todo (x,y)\in D.
(b) Se D\subset\mathbb{R}^2 é fechado e limitado e f\colon D\to\mathbb{R} é contínua, então existem (x_{\min},y_{\min}) e (x_{\max},y_{\max}) em D com
f(x_{\min},y_{\min}) = \min_{D}f, \quad f(x_{\max},y_{\max}) = \max_{D}f.
(c) O método é: (i) resolver \nabla f=0 para achar críticos internos; (ii) examinar o contorno de D (por parametrização ou Lagrange); (iii) avaliar f em todos os candidatos e escolher o menor e o maior.

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