(a) O que é um conjunto fechado em
? O que é um conjunto limitado?
(b) Dê o enunciado do Teorema dos Valores Extremos para as funções de duas variáveis.
(c) Como achar os valores que o Teorema dos Valores Extremos garante existirem?
(b) Dê o enunciado do Teorema dos Valores Extremos para as funções de duas variáveis.
(c) Como achar os valores que o Teorema dos Valores Extremos garante existirem?
Passo 1
O enunciado tem três partes. Na parte (a) pede definições de conjunto fechado e de conjunto limitado em
. Na parte (b) pede o enunciado do Teorema dos Valores Extremos (TVE) para funções
. Na parte (c) quer saber o procedimento prático para encontrar os pontos de mínimo e máximo que o TVE garante existir. Vamos usar conceitos de topologia em
, noções de continuidade e o método de críticos internos e análise do contorno.
Passo 2
Definição de conjunto fechado em
. Um conjunto
é fechado se ele contém todos os seus pontos-limite, isto é, sempre que uma sequência
converge para algum
, temos
. Equivalentemente, o complemento
é um conjunto aberto.
Definição de conjunto limitado em
. Um conjunto
é limitado se existe
tal que para todo
vale
Ou seja,
cabe dentro de um disco de raio finito centrado na origem.
Passo 3
Enunciado do Teorema dos Valores Extremos para funções de duas variáveis. Seja
um conjunto que seja fechado e limitado (o que torna
compacto) e seja
uma função contínua. Então existem pontos
e
tais que
Ou seja,
atinge seus valores mínimo e máximo globais em
.
Passo 4
Como achar esses valores garantidos pelo teorema? O procedimento é:
- Procurar os pontos críticos no interior de
, resolvendo o sistema
ou verificando onde as derivadas parciais não existem.
2) Analisar o contorno . Se
for uma curva ou várias curvas conhecidas, parametriza-se cada uma e aplica-se o Teorema dos Valores Extremos em uma dimensão (ou usa-se multiplicadores de Lagrange se o contorno é dado por uma equação
).
3) Avaliar em todos os candidatos (pontos críticos internos e pontos de contorno) e comparar os valores. O menor será o mínimo global e o maior será o máximo global.
2) Analisar o contorno
3) Avaliar
Resposta
(a) Um subconjunto
é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou se seu complementar é aberto). É limitado se existe
tal que
para todo
.
(b) Se
é fechado e limitado e
é contínua, então existem
e
em
com
(c) O método é: (i) resolver
para achar críticos internos; (ii) examinar o contorno de
(por parametrização ou Lagrange); (iii) avaliar
em todos os candidatos e escolher o menor e o maior.