Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se (2,1) é um ponto crítico de f e
f_{x x}(2,1) f_{y y}(2,1)<\left[f_{x y}(2,1)\right]^{2}

Passo 1

O enunciado quer saber se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Se (2,1) é um ponto crítico de f e
f_{xx}(2,1)\,f_{yy}(2,1) < \bigl[f_{xy}(2,1)\bigr]^2,
então (2,1) é um ponto de sela.”
O conteúdo aqui é o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.

Passo 2

Definimos o discriminante do teste da segunda derivada (o determinante da matriz hessiana) em (2,1):
D = f_{xx}(2,1)\,f_{yy}(2,1) - \bigl[f_{xy}(2,1)\bigr]^2.

Passo 3

Pela hipótese
f_{xx}(2,1)\,f_{yy}(2,1) < \bigl[f_{xy}(2,1)\bigr]^2
segue imediatamente que
D < 0.

Passo 4

O teste da segunda derivada diz:
  • Se D>0 e f_{xx}(2,1)>0, há mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}(2,1)<0, há máximo local.
  • Se D<0, o ponto crítico é de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois a condição
f_{xx}(2,1)\,f_{yy}(2,1) < \bigl[f_{xy}(2,1)\bigr]^2
implica D<0, e o teste de segunda derivada garante que o ponto crítico é de sela.

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