Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
é um ponto crítico de
e
Se
Passo 1
O enunciado quer saber se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Se é um ponto crítico de
e
“Se
então
é um ponto de sela.”
O conteúdo aqui é o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
O conteúdo aqui é o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Passo 2
Definimos o discriminante do teste da segunda derivada (o determinante da matriz hessiana) em
:
Passo 3
Pela hipótese
segue imediatamente que
Passo 4
O teste da segunda derivada diz:
- Se
e , há mínimo local. - Se
e , há máximo local. - Se
, o ponto crítico é de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois a condição
implica
, e o teste de segunda derivada garante que o ponto crítico é de sela.