Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f é uma função, então
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,5)} f(x, y)=f(2,5)

Passo 1

O enunciado pergunta se, para qualquer função f, vale sempre
\lim_{(x,y)\to(2,5)} f(x,y) \;=\; f(2,5).
Isso toca nos conceitos de limite de função de duas variáveis e de continuidade em um ponto.

Passo 2

Por definição, dizemos que
\lim_{(x,y)\to(2,5)} f(x,y)=L
quando, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que se
0<\sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}<\delta
então \bigl|f(x,y)-L\bigr|<\varepsilon. Se quisermos L=f(2,5), isso significa exatamente que f é contínua em (2,5). Como a afirmação não supõe que f seja contínua, ela não pode valer para toda função.

Passo 3

Vamos dar um contraexemplo explícito. Defina
f(x,y)= \begin{cases} 0, & (x,y)\neq(2,5),\\\\ 1, & (x,y)=(2,5). \end{cases}
Para qualquer sequência (x_n,y_n)\to(2,5) com (x_n,y_n)\neq(2,5), temos f(x_n,y_n)=0, logo
\lim_{(x,y)\to(2,5)} f(x,y)=0.
Porém f(2,5)=1. Assim a igualdade do limite com o valor da função falha.

Resposta

A afirmação é falsa.

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