Um conjunto de funções f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n} é dito LI (linearmente independentes) se c_{1} f_{1}(x)+c_{2} f_{2}(x)+\cdots+c_{n} f_{n}(x)=0 para todo x, implica que c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0. Mostre que as funções abaixo formam um conjunto LI.
{\operatorname{sen}(k x), \cos (k x)}\} \operatorname{com} k \neq 0$.

Passo 1

O enunciado nos dá as duas funções \sin(kx) e \cos(kx) com k\neq 0 e pede para provar que elas são linearmente independentes (LI). Ou seja, preciso mostrar que, se existem constantes c_{1} e c_{2} tais que
c_{1}\sin(kx)+c_{2}\cos(kx)=0\quad\text{para todo }x,
então necessariamente c_{1}=c_{2}=0.
Lista das informações relevantes que vou usar:
  • As funções são definidas para todo x\in\mathbb{R}.
  • k é um número real não nulo ( k\neq 0), então é legítimo dividir por k e escolher valores de x como \dfrac{\pi}{2k}.
  • A identidade acima vale para todo x, portanto posso substituir valores específicos de x nessa identidade.

Passo 2

Começo assumindo a hipótese da dependência linear: existem constantes c_{1} e c_{2} tais que
c_{1}\sin(kx)+c_{2}\cos(kx)=0\quad\text{para todo }x.
Isto é uma igualdade entre funções: para cada valor de x a soma deve ser zero. Logo posso escolher valores concretos de x para obter equações para c_{1} e c_{2}.

Passo 3

Escolho x=0. Substituindo na identidade:
c_{1}\sin(0)+c_{2}\cos(0)=0.
Como \sin(0)=0 e \cos(0)=1, isso dá
0 + c_{2}\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_{2}=0.
Portanto já concluí que c_{2}=0.

Passo 4

Com c_{2}=0, a identidade original reduz para
c_{1}\sin(kx)=0\quad\text{para todo }x.
Agora escolho x=\dfrac{\pi}{2k}. Isso é permitido porque k\neq 0. Substituindo:
c_{1}\sin\Big(k\cdot \frac{\pi}{2k}\Big)=c_{1}\sin\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=c_{1}\cdot 1=0.
Logo c_{1}=0.

Passo 5

Encontramos c_{1}=0 e c_{2}=0. Como a única combinação linear que produz a função zero é a combinação trivial, as funções \sin(kx) e \cos(kx) são linearmente independentes.

Passo 6

Comentário didático (método alternativo útil na prova): pode-se também usar o Wronskiano. Para f_{1}(x)=\sin(kx) e f_{2}(x)=\cos(kx) tem-se
W(x)=\begin{vmatrix} \sin(kx) & \cos(kx)\\[4pt] k\cos(kx) & -k\sin(kx) \end{vmatrix} = -k\sin^{2}(kx)-k\cos^{2}(kx)=-k\big(\sin^{2}(kx)+\cos^{2}(kx)\big)=-k.
Como W(x)=-k\neq 0 (pois k\neq 0), o Wronskiano é não nulo e isso implica que as funções são LI. Esse método é prático quando há duas funções diferenciáveis.]

Resposta

As funções \sin(kx) e \cos(kx) são linearmente independentes (ou seja, c_{1}=c_{2}=0).

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