Um conjunto de funções f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n} é dito LI (linearmente independentes) se c_{1} f_{1}(x)+c_{2} f_{2}(x)+\cdots+c_{n} f_{n}(x)=0 para todo x, implica que c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0. Mostre que as funções abaixo formam um conjunto LI. {\operatorname{sen}(k x), \cos (k x)}\} \operatorname{com} k \neq 0$.
Passo 1
O enunciado nos dá as duas funções \sin(kx) e \cos(kx) com k\neq 0 e pede para provar que elas são linearmente independentes (LI). Ou seja, preciso mostrar que, se existem constantes c_{1} e c_{2} tais que
c_{1}\sin(kx)+c_{2}\cos(kx)=0\quad\text{para todo }x,
então necessariamente c_{1}=c_{2}=0.
Lista das informações relevantes que vou usar:
As funções são definidas para todo x\in\mathbb{R}.
k é um número real não nulo (k\neq 0), então é legítimo dividir por k e escolher valores de x como \dfrac{\pi}{2k}.
A identidade acima vale para todo x, portanto posso substituir valores específicos de x nessa identidade.
Passo 2
Começo assumindo a hipótese da dependência linear: existem constantes c_{1} e c_{2} tais que
c_{1}\sin(kx)+c_{2}\cos(kx)=0\quad\text{para todo }x.
Isto é uma igualdade entre funções: para cada valor de x a soma deve ser zero. Logo posso escolher valores concretos de x para obter equações para c_{1} e c_{2}.
Encontramos c_{1}=0 e c_{2}=0. Como a única combinação linear que produz a função zero é a combinação trivial, as funções \sin(kx) e \cos(kx) são linearmente independentes.
Passo 6
Comentário didático (método alternativo útil na prova): pode-se também usar o Wronskiano. Para f_{1}(x)=\sin(kx) e f_{2}(x)=\cos(kx) tem-se
Como W(x)=-k\neq 0 (pois k\neq 0), o Wronskiano é não nulo e isso implica que as funções são LI. Esse método é prático quando há duas funções diferenciáveis.]
Resposta
As funções \sin(kx) e \cos(kx) são linearmente independentes (ou seja, c_{1}=c_{2}=0).