Um conjunto de funções
é dito LI (linearmente independentes) se
para todo
, implica que
. Mostre que as funções abaixo formam um conjunto LI.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que o conjunto de funções
é linearmente independente (LI).
Informações dadas e definição que vamos usar: um conjunto é LI se, sempre que existirem constantes
tais que
Informações dadas e definição que vamos usar: um conjunto
então necessariamente
.
Aqui as funções são e
. Queremos provar que a única combinação linear que é a função zero para todo
é a trivial, com coeficientes nulos.
Aqui as funções são
Passo 2
Começamos supondo a hipótese de dependência linear e vamos chegar aos coeficientes nulos. Suponha que existam constantes
e
(reais) tais que, para todo
,
Explicação: isso significa que a função
é a função identicamente zero (assume o valor zero para todo
).
Passo 3
Vamos usar derivação de funções para obter outra relação com os mesmos coeficientes. Regra importante que usaremos: a derivada de
em relação a
é
. Em particular,
e
.
Derivando a identidade
termo a termo, obtemos, para todo
,
Passo 4
Agora temos duas identidades válidas para todo
Podemos avaliá-las em um valor conveniente de
(escolha simples e válida porque as igualdades valem para todo
), obtemos
Agora resolvemos esse sistema simples. Somando as duas equações:
Substituindo
dá
.]
Passo 5
Concluímos que, sempre que
para todo
, necessariamente
. Isso é exatamente a definição de linearmente independentes, logo
é um conjunto LI.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes:
.