Um conjunto de funções f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n} é dito LI (linearmente independentes) se c_{1} f_{1}(x)+c_{2} f_{2}(x)+\cdots+c_{n} f_{n}(x)=0 para todo x, implica que c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0. Mostre que as funções abaixo formam um conjunto LI.
\left\{e^{x}, e^{-x}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que o conjunto de funções \{e^{x}, e^{-x}\} é linearmente independente (LI).
Informações dadas e definição que vamos usar: um conjunto \{f_{1},f_{2}\} é LI se, sempre que existirem constantes c_{1},c_{2} tais que
c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)=0\quad\text{para todo }x,
então necessariamente c_{1}=c_{2}=0.
Aqui as funções são f_{1}(x)=e^{x} e f_{2}(x)=e^{-x}. Queremos provar que a única combinação linear que é a função zero para todo x é a trivial, com coeficientes nulos.

Passo 2

Começamos supondo a hipótese de dependência linear e vamos chegar aos coeficientes nulos. Suponha que existam constantes c_{1} e c_{2} (reais) tais que, para todo x\in\mathbb{R},
c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}=0.
Explicação: isso significa que a função x\mapsto c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} é a função identicamente zero (assume o valor zero para todo x).

Passo 3

Vamos usar derivação de funções para obter outra relação com os mesmos coeficientes. Regra importante que usaremos: a derivada de e^{ax} em relação a x é a e^{ax}. Em particular, \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
Derivando a identidade c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}=0 termo a termo, obtemos, para todo x,
c_{1}e^{x}-c_{2}e^{-x}=0.

Passo 4

Agora temos duas identidades válidas para todo x\): \[\begin{cases} c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}=0,\\[4pt] c_{1}e^{x}-c_{2}e^{-x}=0. \end{cases}
Podemos avaliá-las em um valor conveniente de x\]. Tomando \[x=0 (escolha simples e válida porque as igualdades valem para todo x), obtemos
\begin{cases} c_{1}e^{0}+c_{2}e^{0}=0 \quad\Rightarrow\quad c_{1}+c_{2}=0,\\[4pt] c_{1}e^{0}-c_{2}e^{0}=0 \quad\Rightarrow\quad c_{1}-c_{2}=0. \end{cases}
Agora resolvemos esse sistema simples. Somando as duas equações:
2c_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad c_{1}=0.
Substituindo c_{1}=0\] em \(c_{1}+c_{2}=0 c_{2}=0.]

Passo 5

Concluímos que, sempre que c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}=0 para todo x, necessariamente c_{1}=c_{2}=0. Isso é exatamente a definição de linearmente independentes, logo \{e^{x},e^{-x}\} é um conjunto LI.

Resposta

As funções e^{x} e e^{-x} são linearmente independentes: c_{1}=c_{2}=0.

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