O conjunto de funções
é linearmente dependente ou linearmente independente em
? Discuta.
Passo 1
O enunciado pede pra gente discutir se as funções f₁(x)=e^{x+2} e f₂(x)=e^{x−3} são linearmente dependentes ou independentes no intervalo (−∞,∞). O assunto aqui é dependência linear em espaços de funções, e vamos precisar usar a definição de combinação linear que gera a função zero.
Passo 2
Pra começar, vamos lembrar a definição: duas funções f₁ e f₂ são linearmente independentes se a única solução da equação c₁ f₁(x)+c₂ f₂(x)=0 para todo x é c₁=c₂=0. Se existir algum par (c₁,c₂)≠(0,0) que zere essa combinação em todo o domínio, elas são linearmente dependentes.
Passo 3
Note que ambas as funções são exponenciais com base e, só que deslocadas no expoente. Dá pra escrever cada uma como um múltiplo de e^x:
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Como as duas são múltiplos de e^x, podemos relacioná-las diretamente:
Passo 7
Passo 8
Ou seja,
Passo 9
Passo 10
Isso mostra que existe uma combinação linear não trivial que zera as duas funções simultaneamente. Por exemplo, se escolhermos c₁=1 e c₂=−e^5, então para todo x temos
Passo 11
Passo 12
Logo, encontramos (c₁,c₂)≠(0,0) que satisfaz c₁ f₁+c₂ f₂≡0, caracterizando dependência linear.
Resposta
O conjunto {f₁,f₂} é linearmente dependente, pois f₁(x)=e^5·f₂(x) implica existência de combinação linear não trivial que zera ambas as funções.