O conjunto de funções f1(x)=e^x+2, f2(x)=e^x-3 é linearmente dependente ou linearmente independente em (-infty, infty) ? Discuta.

Passo 1

O enunciado pede pra gente discutir se as funções f₁(x)=e^{x+2} e f₂(x)=e^{x−3} são linearmente dependentes ou independentes no intervalo (−∞,∞). O assunto aqui é dependência linear em espaços de funções, e vamos precisar usar a definição de combinação linear que gera a função zero.

Passo 2

Pra começar, vamos lembrar a definição: duas funções f₁ e f₂ são linearmente independentes se a única solução da equação c₁ f₁(x)+c₂ f₂(x)=0 para todo x é c₁=c₂=0. Se existir algum par (c₁,c₂)≠(0,0) que zere essa combinação em todo o domínio, elas são linearmente dependentes.

Passo 3

Note que ambas as funções são exponenciais com base e, só que deslocadas no expoente. Dá pra escrever cada uma como um múltiplo de e^x:

Passo 4

f₁(x)=e^x+2=e^2,e^x

Passo 5

f₂(x)=e^x−3=e^−3,e^x

Passo 6

Como as duas são múltiplos de e^x, podemos relacioná-las diretamente:

Passo 7

f₁(x)f₂(x)=e^2,e^xe^−3,e^x=e^2−(−3)=e^5

Passo 8

Ou seja,

Passo 9

f₁(x)=e^5,f₂(x)

Passo 10

Isso mostra que existe uma combinação linear não trivial que zera as duas funções simultaneamente. Por exemplo, se escolhermos c₁=1 e c₂=−e^5, então para todo x temos

Passo 11

1·f₁(x)+(−e^5)·f₂(x)=f₁(x)−e^5 f₂(x)=0

Passo 12

Logo, encontramos (c₁,c₂)≠(0,0) que satisfaz c₁ f₁+c₂ f₂≡0, caracterizando dependência linear.

Resposta

O conjunto {f₁,f₂} é linearmente dependente, pois f₁(x)=e^5·f₂(x) implica existência de combinação linear não trivial que zera ambas as funções.

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