Mostre que os números 16,1156,111556,11115556, ldots são quadrados perfeitos.

Passo 1

O enunciado dá a sequência 16, 1156, 111556, 11115556, … e pede para mostrar que cada termo é um quadrado perfeito. O tema aqui é manipular potências de 10 (séries geométricas) para representar números em base decimal e reconhecer padrões de raízes quadradas.

Passo 2

Observando que 16 = 4², 1156 = 34², 111556 = 334² e 11115556 = 3334², percebemos que a raiz do n-ésimo termo é o número formado por n dígitos, sendo os primeiros (n−1) iguais a 3 e o último igual a 4. Denotamos esse número por C_n.

Passo 3

Para formalizar, escrevemos C_n como soma de potências de 10:

Passo 4

Cn = sumi=1^n-13cdot10^i + 4 = 3(10^n - 10)9 + 4 = 3cdot10^n + 69

Passo 5

Então o quadrado de C_n é

Passo 6

Cn^2 = l(3cdot10^n + 69r)^2 = 9,10^2n + 36,10^n + 3681 = 10^2n + 4,10^n + 49

Passo 7

Para ver que isso gera exatamente n uns seguidos de “56”, decompomos:

Passo 8

10^2n + 4,10^n + 49 = 10^2n-19 + 4,10^n + 59

Passo 9

O termo tfrac10^2n-19 é a sequência de 2n algarismos 1. Já

Passo 10

4,10^n + 59 = 4cdot10^n - 19 + 1

Passo 11

é um número com (n−1) dígitos 5 seguidos de 6, de modo que a soma dá n dígitos 1 seguidos de “56”.

Resposta

Para todo n, o número formado por n algarismos 1 seguidos de 56 satisfaz
underbrace11dots1n vezes56=l(underbrace33dots34n dígitosr)^2,í
logo é sempre quadrado perfeito.

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