Mostre que os números
são quadrados perfeitos.
Passo 1
O enunciado dá a sequência 16, 1156, 111556, 11115556, … e pede para mostrar que cada termo é um quadrado perfeito. O tema aqui é manipular potências de 10 (séries geométricas) para representar números em base decimal e reconhecer padrões de raízes quadradas.
Passo 2
Observando que 16 = 4², 1156 = 34², 111556 = 334² e 11115556 = 3334², percebemos que a raiz do n-ésimo termo é o número formado por n dígitos, sendo os primeiros (n−1) iguais a 3 e o último igual a 4. Denotamos esse número por C_n.
Passo 3
Para formalizar, escrevemos C_n como soma de potências de 10:
Passo 4
Passo 5
Então o quadrado de C_n é
Passo 6
Passo 7
Para ver que isso gera exatamente n uns seguidos de “56”, decompomos:
Passo 8
Passo 9
O termo
é a sequência de 2n algarismos 1. Já
Passo 10
Passo 11
é um número com (n−1) dígitos 5 seguidos de 6, de modo que a soma dá n dígitos 1 seguidos de “56”.
Resposta
Para todo n, o número formado por n algarismos 1 seguidos de 56 satisfaz
logo é sempre quadrado perfeito.