Se
é um inteiro, determinar todas as classes laterais de
no grupo aditivo
. Quanto é
?
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos todas as classes laterais de
no grupo aditivo
, onde
é inteiro, e depois calcular o índice
. Vamos usar a definição de classe lateral e o algoritmo da divisão euclidiana para caracterizar essas classes.
Passo 2
Definimos a classe lateral de um elemento
como
Pelo algoritmo da divisão euclidiana, dado
, existem únicos
tais que
Então
Isso mostra que toda classe lateral tem um representante
com
.
Passo 3
Mostramos que as classes
são todas distintas. De fato, se para
tivermos
então existe
com
. Mas
força
, logo
. Portanto são exatamente
classes distintas.
Passo 4
Concluímos que as classes laterais de
em
são
isto é, todos os resíduos módulo
.
Passo 5
O índice
é o número de classes laterais, que acabamos de mostrar ser
.
Resposta
As classes laterais são
e