Se m>1 é um inteiro, determinar todas as classes laterais de m Z no grupo aditivo Z. Quanto é [Z: m Z]?

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todas as classes laterais de mZ no grupo aditivo Z, onde m>1 é inteiro, e depois calcular o índice [Z:mZ]. Vamos usar a definição de classe lateral e o algoritmo da divisão euclidiana para caracterizar essas classes.

Passo 2

Definimos a classe lateral de um elemento ainZ como
a + mZ = ,a + mk : kinZ
Pelo algoritmo da divisão euclidiana, dado ainZ, existem únicos q,rinZ tais que
a = qm + r e 0 <= r < m
Então
a + mZ = (qm + r) + mZ = r + mZ
Isso mostra que toda classe lateral tem um representante r com 0<= r<= m-1.

Passo 3

Mostramos que as classes
0 + mZ,;1 + mZ,;dots,;(m-1) + mZ
são todas distintas. De fato, se para 0<= r,s<m tivermos
r + mZ ;=; s + mZ,
então existe kinZ com r = s + mk. Mas |r-s|<m força k=0, logo r=s. Portanto são exatamente m classes distintas.

Passo 4

Concluímos que as classes laterais de mZ em Z são
0 + mZ,;1 + mZ,;dots,;(m-1) + mZ,
isto é, todos os resíduos módulo m.

Passo 5

O índice [Z:mZ] é o número de classes laterais, que acabamos de mostrar ser m.

Resposta

As classes laterais são
0 + mZ,;1 + mZ,;dots,;(m-1) + mZ,
e
[Z:mZ] = m

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