Sejam
e
um elemento de ordem finita. Mostre que
divide a ordem do elemento
no grupo
.
Passo 1
O enunciado diz que
é subgrupo normal de
e que
tem ordem finita. Vamos usar as definições de ordem de elemento em
e em
. Denotemos
ou seja,
é o menor inteiro positivo tal que
. Queremos mostrar que o ordenamento do elemento
em
, digamos
divide
.
Passo 2
Pela definição de ordem de elemento no quociente,
é o menor inteiro positivo com
Mas
, de modo que
Por outro lado, como
, concluímos que
também satisfaz
. Logo,
é um divisor de
. Para ver isso de forma detalhada, usemos o algoritmo da divisão: escrevemos
Então
pois
e
implica
. Pela minimalidade de
, deve ser
. Assim
.
Resposta
Mostramos que
divide
, ou seja,