Sejam N triang<=<=ft G e a in G um elemento de ordem finita. Mostre que o(a) divide a ordem do elemento Na no grupo G / N.

Passo 1

O enunciado diz que N é subgrupo normal de G e que ain G tem ordem finita. Vamos usar as definições de ordem de elemento em G e em G/N. Denotemos
n = o(a),
ou seja, n é o menor inteiro positivo tal que a^n = e. Queremos mostrar que o ordenamento do elemento Na em G/N, digamos
k = o(Na),
divide n.

Passo 2

Pela definição de ordem de elemento no quociente, k é o menor inteiro positivo com
(Na)^k = N
Mas (Na)^k = N,a^k, de modo que
a^k in N
Por outro lado, como a^n = ein N, concluímos que n também satisfaz (Na)^n = N. Logo, k é um divisor de n. Para ver isso de forma detalhada, usemos o algoritmo da divisão: escrevemos
n = kq + r, 0 <= r < k
Então
a^r = a^n - kq = a^n,(a^-k)^q in N,
pois a^n = ein N e a^kin N implica (a^-k)^qin N. Pela minimalidade de k, deve ser r=0. Assim kmid n.

Resposta

Mostramos que o(Na)=k divide n=o(a), ou seja,
o(Na);m|;o(a)

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