No espaço F das funções f: R R, mostre que os seguintes pares de funções são LI:
t, e^t

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que as funções ,f1(t)=t e ,f2(t)=e^t são linearmente independentes no espaço F de todas as funções de R em R. Para isso, vamos usar a definição: f1,f2 é LI se, da combinação linear
c1,f1(t) + c2,f2(t)=0para todo tinR,
seguirem-se c1=c2=0.

Passo 2

Suponha então que existam constantes ,c1 e ,c2 tais que
c1,t ;+; c2,e^t ;=; 0 para todo tinR

Passo 3

Avalie essa identidade em t=0. Como e^0=1 e t=0, temos
c1cdot 0 + c2cdot 1 = 0 Longrightarrow c2 = 0

Passo 4

Substituindo c2=0 na combinação inicial, fica
c1,t = 0 para todo tinR
Isso só é possível se c1=0, pois caso contrário c1,t seria diferente de zero para algum tneq0.

Resposta

Como a única combinação linear que anula ambas as funções é com c1=c2=0, concluímos que t e e^t são linearmente independentes.

Exercícios relacionados