Para que um conjunto, juntamente com operações de adição e multiplicação entre seus elementos, seja considerado um corpo, deve satisfazer a 11 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são corpos, verificando a validade de cada axioma.
Os números reais, com a adição e multiplicação usuais.
Os números reais, com a adição e multiplicação usuais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números reais
, equipado com a adição e a multiplicação usuais, satisfaz os 11 axiomas que definem um corpo. O conteúdo aqui são as propriedades algébricas dos reais: fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elementos neutros e inversos, e distributividade.
Passo 2
Verificamos primeiro os axiomas relativos à adição: para quaisquer
vale
– Fechamento: .
– Comutatividade: .
– Associatividade: .
Tudo isso decorre das propriedades básicas da reta numérica.
– Fechamento:
– Comutatividade:
– Associatividade:
Tudo isso decorre das propriedades básicas da reta numérica.
Passo 3
Ainda para a adição, precisamos do elemento neutro e do inverso:
– Existe tal que para todo
temos
.
– Para cada existe
tal que
.
Isso é garantido pela estrutura de grupo abeliano que forma.
– Existe
– Para cada
Isso é garantido pela estrutura de grupo abeliano que
Passo 4
Agora os axiomas de multiplicação: para quaisquer
com as operações usuais vale
– Fechamento: .
– Comutatividade: .
– Associatividade: .
Novamente, são consequências diretas das propriedades aritméticas dos reais.
– Fechamento:
– Comutatividade:
– Associatividade:
Novamente, são consequências diretas das propriedades aritméticas dos reais.
Passo 5
Para a multiplicação completa como corpo, precisamos de neutro, inversos e de distinguir zero de um:
– Existe tal que para todo
temos
.
– Para cada existe
tal que
.
– Além disso, .
Essas propriedades dizem que é um grupo abeliano e que o neutro multiplicativo é distinto do neutro aditivo.
– Existe
– Para cada
– Além disso,
Essas propriedades dizem que
Passo 6
Por fim, o axioma da distributividade: para quaisquer
vale
e, simetricamente,
. Essa é a regra usual de distribuição em aritmética.
Resposta
Como todos os 11 axiomas (fechamento, comutatividade, associatividade, neutros aditivo e multiplicativo, inversos aditivo e multiplicativo,
e distributividade) são satisfeitos, concluímos que
com adição e multiplicação usuais é de fato um corpo.