Para que um conjunto, juntamente com operações de adição e multiplicação entre seus elementos, seja considerado um corpo, deve satisfazer a 11 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são corpos, verificando a validade de cada axioma.
Os números reais, com a adição e multiplicação usuais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números reais R, equipado com a adição e a multiplicação usuais, satisfaz os 11 axiomas que definem um corpo. O conteúdo aqui são as propriedades algébricas dos reais: fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elementos neutros e inversos, e distributividade.

Passo 2

Verificamos primeiro os axiomas relativos à adição: para quaisquer a,b,cinR vale
– Fechamento: a + binR.
– Comutatividade: a + b = b + a.
– Associatividade: (a + b) + c = a + (b + c).
Tudo isso decorre das propriedades básicas da reta numérica.

Passo 3

Ainda para a adição, precisamos do elemento neutro e do inverso:
– Existe 0inR tal que para todo ainR temos a + 0 = a.
– Para cada ainR existe -ainR tal que a + (-a) = 0.
Isso é garantido pela estrutura de grupo abeliano que (R,+) forma.

Passo 4

Agora os axiomas de multiplicação: para quaisquer a,b,cinR com as operações usuais vale
– Fechamento: a cdot binR.
– Comutatividade: a cdot b = b cdot a.
– Associatividade: (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c).
Novamente, são consequências diretas das propriedades aritméticas dos reais.

Passo 5

Para a multiplicação completa como corpo, precisamos de neutro, inversos e de distinguir zero de um:
– Existe 1inR tal que para todo ainR temos acdot 1 = a.
– Para cada ainRsetminus0 existe a^-1inR tal que acdot a^-1=1.
– Além disso, 1 neq 0.
Essas propriedades dizem que (Rsetminus0,cdot) é um grupo abeliano e que o neutro multiplicativo é distinto do neutro aditivo.

Passo 6

Por fim, o axioma da distributividade: para quaisquer a,b,cinR vale
a,(b + c) = a,b + a,c
e, simetricamente, (b + c),a = b,a + c,a. Essa é a regra usual de distribuição em aritmética.

Resposta

Como todos os 11 axiomas (fechamento, comutatividade, associatividade, neutros aditivo e multiplicativo, inversos aditivo e multiplicativo, 1neq0 e distributividade) são satisfeitos, concluímos que R com adição e multiplicação usuais é de fato um corpo.

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