Para que um conjunto, juntamente com operações de adição e multiplicação entre seus elementos, seja considerado um corpo, deve satisfazer a 11 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são corpos, verificando a validade de cada axioma.
Os números racionais Q, com a adição e a multiplicação usuais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto dos números racionais Q, com as operações usuais de adição e multiplicação, satisfaz os 11 axiomas de corpo. Isso envolve ver que (Q,+) é um grupo abeliano, que (Qsetminus0,cdot) é um grupo abeliano, e que vale a propriedade distributiva.

Passo 2

Verificamos que (Q,+) é um grupo abeliano (5 axiomas):
Fechamento: se tfracab,tfraccdinQ com b,dneq0, então
ab + cd = ad + bcbd
Como bdneq0, o resultado está em Q.
Associatividade: para quaisquer x,y,zinQ
(x+y)+z = x+(y+z),
porque a soma de frações herda a associatividade da soma de inteiros nos numeradores e denominadores.
Comutatividade: para quaisquer x,yinQ
x+y = y+x,
pela comutatividade da soma de inteiros.
Elemento neutro: 0=tfrac01 satisfaz
x+0 = x = 0+x
para todo xinQ.
Inverso aditivo: dado x=tfracabinQ, seu inverso é -x=tfrac-ab, pois
x + (-x) = ab + -ab = acdot b + (-a)cdot bb^2 = 0

Passo 3

Verificamos que (Qsetminus0,cdot) é um grupo abeliano (5 axiomas):
Fechamento: se tfracab,tfraccdinQsetminus0, então
abcdotcd = acbd,
e como b,dneq0, segue em Qsetminus0.
Associatividade: para quaisquer x,y,zinQsetminus0
(xcdot y)cdot z = xcdot (ycdot z),
pela associatividade do produto de inteiros.
Comutatividade:
xcdot y = ycdot x
Elemento neutro: 1=tfrac11 satisfaz
xcdot 1 = x = 1cdot x
para todo xinQsetminus0.
Inverso multiplicativo: dado x=tfracabneq0, seu inverso é
x^-1 = ba,
pois
xcdot x^-1 = abcdotba = 1

Passo 4

Verificamos a distributividade (1 axioma): para quaisquer tfracab,tfraccd,tfracefinQ com b,d,fneq0,
abl(cd + efr) = abcdot cf+dedf = a(cf+de)bdf = acfbdf + adebdf = abcdotcd + abcdotef

Resposta

Como todos os 11 axiomas estão satisfeitos, concluímos que Q, com as operações usuais de adição e multiplicação, é de fato um corpo.

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