Para que um conjunto, juntamente com operações de adição e multiplicação entre seus elementos, seja considerado um corpo, deve satisfazer a 11 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são corpos, verificando a validade de cada axioma.
Os números racionais
, com a adição e a multiplicação usuais.
Os números racionais
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto dos números racionais
, com as operações usuais de adição e multiplicação, satisfaz os 11 axiomas de corpo. Isso envolve ver que
é um grupo abeliano, que
é um grupo abeliano, e que vale a propriedade distributiva.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano (5 axiomas):
Fechamento: se
com
, então
Como
, o resultado está em
.
Associatividade: para quaisquer
porque a soma de frações herda a associatividade da soma de inteiros nos numeradores e denominadores.
Comutatividade: para quaisquer
pela comutatividade da soma de inteiros.
Elemento neutro:
satisfaz
para todo
.
Inverso aditivo: dado
, seu inverso é
, pois
Passo 3
Verificamos que
é um grupo abeliano (5 axiomas):
Fechamento: se
, então
e como
, segue em
.
Associatividade: para quaisquer
pela associatividade do produto de inteiros.
Comutatividade:
Elemento neutro:
satisfaz
para todo
.
Inverso multiplicativo: dado
, seu inverso é
pois
Passo 4
Verificamos a distributividade (1 axioma): para quaisquer
com
,
Resposta
Como todos os 11 axiomas estão satisfeitos, concluímos que
, com as operações usuais de adição e multiplicação, é de fato um corpo.