Quais dos conjuntos abaixo de vetores v=(v1, ldots, vn) de R^n é subespaço de R^n (com n >= 3 )?
v in R^n mid v1+3 v2=v3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,boldsymbol vin R^n mid v1 + 3v2 = v3
é um subespaço de R^n (com n>=3). Para isso, como todo subespaço, precisamos checar três propriedades:
  1. boldsymbol0in S.
  2. Se boldsymbol u,boldsymbol vin S então boldsymbol u+boldsymbol vin S.
  3. Se boldsymbol vin S e lambdain R então lambdaboldsymbol vin S.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo boldsymbol0=(0,0,dots,0).
Em boldsymbol0 temos
0 + 3cdot0 = 0,
logo a condição v1+3v2=v3 é satisfeita e boldsymbol0in S.

Passo 3

Sejam boldsymbol u=(u1,u2,dots,un) e boldsymbol v=(v1,v2,dots,vn) em S. Então
u1 + 3u2 = u3 e v1 + 3v2 = v3
No vetor soma boldsymbol u+boldsymbol v o terceiro componente é (u3+v3) e os dois primeiros são (u1+v1) e (u2+v2). Logo,
(u1+v1) + 3(u2+v2) = (u1 + 3u2) + (v1 + 3v2) = u3 + v3,
que é exatamente o componente 3 da soma. Assim boldsymbol u+boldsymbol vin S.

Passo 4

Se boldsymbol v=(v1,v2,dots,vn)in S então v1+3v2=v3. Para lambdain R, o vetor lambdaboldsymbol v tem os componentes lambda v1,lambda v2,dots,lambda vn. Verificamos:
(lambda v1) + 3(lambda v2) = lambda,(v1 + 3v2) = lambda,v3,
que é o terceiro componente de lambdaboldsymbol v. Logo lambdaboldsymbol vin S.

Passo 5

Como S contém o vetor nulo, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que S é, de fato, um subespaço de R^n.

Resposta

O conjunto ,boldsymbol vin R^n mid v1 + 3v2 = v3 é um subespaço de R^n.

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