Verifique se o vetor w=(9,-4,-4,7) está no subespaço de R^4 gerado por
v1=(8,-4,-3,9), v2=(-4,3,-2,-8), v3=(-7,6,-5,-18)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor
boldsymbol w=(9,-4,-4,7)
está no subespaço de R^4 gerado por
boldsymbol v1,boldsymbol v2,boldsymbol v3 com
boldsymbol v1=(8,-4,-3,9),
boldsymbol v2=(-4,3,-2,-8) e
boldsymbol v3=(-7,6,-5,-18).
Para isso, vamos buscar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,boldsymbol v1+beta,boldsymbol v2+gamma,boldsymbol v3 =boldsymbol w
Isso leva a um sistema linear de quatro equações e três incógnitas.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
8alpha ;-;4beta ;-;7gamma = 9, -4alpha;+;3beta ;+;6gamma = -4, -3alpha;-;2beta ;-;5gamma = -4, 9alpha ;-;8beta ;-;18gamma = 7
Em forma de matriz aumentada:
[ccc|c 8 & -4 & -7 & 9 -4 & 3 & 6 & -4 -3 & -2 & -5 & -4 9 & -8 & -18 & 7 ]

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss para reduzir esta matriz, chegamos à forma escalonada reduzida
[ccc|c 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 ]
Daí extraímos a solução única
alpha = 1, beta = -2, gamma = 1

Passo 4

Como o sistema é compatível e tem solução, concluímos que
boldsymbol w =1cdotboldsymbol v1 ;-;2cdotboldsymbol v2 ;+;1cdotboldsymbol v3,
ou seja, boldsymbol w pertence ao subespaço gerado por boldsymbol v1,boldsymbol v2,boldsymbol v3.

Resposta

Sim. Uma combinação possível é
boldsymbol w =1cdotboldsymbol v1-2cdotboldsymbol v2+1cdotboldsymbol v3

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