Para que um conjunto, juntamente com operações de adição e multiplicação entre seus elementos, seja considerado um corpo, deve satisfazer a 11 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são corpos, verificando a validade de cada axioma.
Os pares ordenados de números reais
e as seguintes operações:
Adição
Multiplicação
Os pares ordenados de números reais
Adição
Multiplicação
Passo 1
Resumindo, o enunciado define o conjunto
com as operações
e
O conteúdo é teoria dos corpos e precisamos verificar os onze axiomas: cinco de adição, cinco de multiplicação e a distributividade.
Passo 2
Verificação dos axiomas de adição em
:
- Fechamento: para quaisquer
temos
pois soma de reais é real. - Associatividade:
- Neutro aditivo: o elemento
satisfaz
para todo . - Inverso aditivo: para cada
o inverso é
, pois
. - Comutatividade:
Passo 3
Verificação dos axiomas de multiplicação em
:
- Fechamento: para quaisquer
pois soma e produto de reais são reais. - Associatividade: segue da associatividade em
ao expandir
e . - Neutro multiplicativo:
satisfaz
- Inverso multiplicativo: para
tem-se
pois
.
5. Comutatividade:
5. Comutatividade:
Passo 4
Verificação da distributividade: para quaisquer
que é exatamente
.
Resposta
Portanto, todos os onze axiomas de corpo são satisfeitos e
com essas operações forma um corpo.