Para que um conjunto, juntamente com operações de adição e multiplicação entre seus elementos, seja considerado um corpo, deve satisfazer a 11 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são corpos, verificando a validade de cada axioma.
Os pares ordenados de números reais (x, y) e as seguintes operações:
Adição (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)
Multiplicação (x1, y1)(x2, y2)=(x1 x2-y1 y2, x1 y2+x2 y1)

Passo 1

Resumindo, o enunciado define o conjunto
R^2 = (x,y)mid x,yinR
com as operações
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1+x2,;y1+y2)
e
(x1,y1)cdot(x2,y2) = (x1x2 - y1y2,;x1y2 + x2y1)
O conteúdo é teoria dos corpos e precisamos verificar os onze axiomas: cinco de adição, cinco de multiplicação e a distributividade.

Passo 2

Verificação dos axiomas de adição em R^2:
  1. Fechamento: para quaisquer (x1,y1),(x2,y2)inR^2 temos
    (x1+x2,y1+y2)inR^2 pois soma de reais é real.
  2. Associatividade:
    l((x1,y1)+(x2,y2)r)+(x3,y3) =(x1+x2+x3,;y1+y2+y3) =(x1,y1)+l((x2,y2)+(x3,y3)r)
  3. Neutro aditivo: o elemento
    (0,0) satisfaz
    (x,y)+(0,0)=(x,y) para todo (x,y).
  4. Inverso aditivo: para cada (x,y) o inverso é
    ( -x,-y), pois
    (x,y)+(-x,-y)=(0,0).
  5. Comutatividade:
    (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) =(x2+x1,y2+y1) =(x2,y2)+(x1,y1)

Passo 3

Verificação dos axiomas de multiplicação em R^2:
  1. Fechamento: para quaisquer (x1,y1),(x2,y2)inR^2
    (x1x2 - y1y2,;x1y2 + x2y1)inR^2 pois soma e produto de reais são reais.
  2. Associatividade: segue da associatividade em R ao expandir
    (x1,y1)l((x2,y2)(x3,y3)r) e l((x1,y1)(x2,y2)r)(x3,y3).
  3. Neutro multiplicativo:
    (1,0) satisfaz
    (x,y)cdot(1,0)=(xcdot1 - ycdot0,;xcdot0 + ycdot1)=(x,y)
  4. Inverso multiplicativo: para (x,y)neq(0,0) tem-se
(x,y)^-1 =l(xx^2+y^2,;-yx^2+y^2r),
pois
(x,y)cdot(x,y)^-1=(1,0).
5. Comutatividade:
(x1,y1)cdot(x2,y2) =(x1x2 - y1y2,;x1y2 + x2y1) =(x2x1 - y2y1,;x2y1 + x1y2) =(x2,y2)cdot(x1,y1)

Passo 4

Verificação da distributividade: para quaisquer (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
(x1,y1)l((x2,y2)+(x3,y3)r) =(x1,y1)cdot(x2+x3,;y2+y3)
=(,x1(x2+x3)-y1(y2+y3),,,x1(y2+y3)+y1(x2+x3),)
=(,x1x2 - y1y2 + x1x3 - y1y3,,,x1y2 + y1x2 + x1y3 + y1x3,)
que é exatamente
(x1,y1)cdot(x2,y2)+(x1,y1)cdot(x3,y3).

Resposta

Portanto, todos os onze axiomas de corpo são satisfeitos e R^2 com essas operações forma um corpo.

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