Para que um conjunto, juntamente com operações de adição e multiplicação entre seus elementos, seja considerado um corpo, deve satisfazer a 11 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são corpos, verificando a validade de cada axioma.
Os números complexos, com adição e multiplicação usuais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números complexos
C=a+bimid a,binR
com as operações usuais de adição e multiplicação é um corpo, isto é, satisfaz os 11 axiomas abaixo:
  1. Fechamento sob adição
  2. Comutatividade da adição
  3. Associatividade da adição
  4. Existência do elemento neutro aditivo
  5. Existência de inversos aditivos
  6. Fechamento sob multiplicação
  7. Comutatividade da multiplicação
  8. Associatividade da multiplicação
  9. Existência do elemento neutro multiplicativo (diferente de 0)
  10. Existência de inversos multiplicativos para todo elemento não nulo
  11. Distributividade da multiplicação sobre a adição
Para resolver, vamos tomar elementos genéricos
z1=a+bi, z2=c+di, z3=e+fi,
com a,b,c,d,e,finR, e checar cada axioma usando as propriedades dos reais.

Passo 2

Verificamos que (C,+) é um grupo abeliano:
  • Fechamento:
    z1+z2=(a+c)+(b+d)iinC
  • Comutatividade:
    z1+z2=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i=z2+z1
  • Associatividade:
    (z1+z2)+z3 =l((a+c)+er)+l((b+d)+fr)i =a+(c+e)+il(b+(d+f)r) =z1+(z2+z3)
  • Neutro aditivo:
    ,0=0+0i satisfaz
    z1+0=(a+0)+(b+0)i=a+bi=z1
  • Inverso aditivo:
    Para z1=a+bi, seu inverso é -z1=(-a)+(-b)i, pois
    z1+(-z1)=(a-a)+(b-b)i=0

Passo 3

Verificamos propriedades parciais de (Csetminus0,cdot):
  • Fechamento:
    z1cdot z2 =(a+bi)(c+di) =(ac-bd)+(ad+bc)iinC
  • Comutatividade:
    z1cdot z2 =(ac-bd)+(ad+bc)i =(ca-db)+(cb+da)i =z2cdot z1,
    pois a multiplicação em R é comutativa.
  • Associatividade:
    (z1cdot z2)cdot z3 = z1cdot(z2cdot z3) decorre da associatividade em R ao expandir ambos os lados.

Passo 4

Existência de identidade e inversos multiplicativos:
  • Neutro multiplicativo:
    1=1+0i satisfaz
    z1cdot1=(a+bi)cdot(1+0i)=a+bi=z1
  • Inverso multiplicativo:
    Para z1=a+bineq0 (ou seja, a^2+b^2neq0),
    definimos
    z1^-1 =aa^2+b^2-ba^2+b^2i,
    e verifica-se
    z1cdot z1^-1 =a^2+b^2a^2+b^2=1

Passo 5

Distributividade da multiplicação sobre a adição:
z1cdot(z2+z3) =(a+bi)l((c+e)+(d+f)ir) =l(a(c+e)-b(d+f)r) +l(a(d+f)+b(c+e)r)i
e, por outro lado,
z1cdot z2+z1cdot z3 =l(ac-bdr)+l(ad+bcr)i ;+;l(ae-bfr)+l(af+ber)i,
que, somando os termos, dá exatamente o mesmo resultado.

Resposta

Concluímos que C, com a adição e multiplicação usuais, satisfaz todos os 11 axiomas de corpo, logo é de fato um corpo.

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