Para que um conjunto, juntamente com operações de adição e multiplicação entre seus elementos, seja considerado um corpo, deve satisfazer a 11 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são corpos, verificando a validade de cada axioma.
Os números complexos, com adição e multiplicação usuais.
Os números complexos, com adição e multiplicação usuais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números complexos
com as operações usuais de adição e multiplicação é um corpo, isto é, satisfaz os 11 axiomas abaixo:
com as operações usuais de adição e multiplicação é um corpo, isto é, satisfaz os 11 axiomas abaixo:
- Fechamento sob adição
- Comutatividade da adição
- Associatividade da adição
- Existência do elemento neutro aditivo
- Existência de inversos aditivos
- Fechamento sob multiplicação
- Comutatividade da multiplicação
- Associatividade da multiplicação
- Existência do elemento neutro multiplicativo (diferente de
) - Existência de inversos multiplicativos para todo elemento não nulo
- Distributividade da multiplicação sobre a adição
Para resolver, vamos tomar elementos genéricos
com
, e checar cada axioma usando as propriedades dos reais.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano:
-
Fechamento:
-
Comutatividade:
-
Associatividade:
-
Neutro aditivo:
satisfaz -
Inverso aditivo:
Para, seu inverso é , pois
Passo 3
Verificamos propriedades parciais de
:
-
Fechamento:
-
Comutatividade:pois a multiplicação em
é comutativa. -
Associatividade:
decorre da associatividade em ao expandir ambos os lados.
Passo 4
Existência de identidade e inversos multiplicativos:
-
Neutro multiplicativo:
satisfaz -
Inverso multiplicativo:
Para(ou seja, ),
definimose verifica-se
Passo 5
Distributividade da multiplicação sobre a adição:
e, por outro lado,
que, somando os termos, dá exatamente o mesmo resultado.
Resposta
Concluímos que
, com a adição e multiplicação usuais, satisfaz todos os 11 axiomas de corpo, logo é de fato um corpo.