Para que um conjunto, juntamente com operações de adição e multiplicação entre seus elementos, seja considerado um corpo, deve satisfazer a 11 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são corpos, verificando a validade de cada axioma.
Os números inteiros 0,1, ldots, p-1 e as seguintes operações:
Adição x+y=(((x+y) bmod p)) onde a bmod p é o resto da divisão a div p.
Multiplicação x y=(((x y) bmod p)).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
Zp = 0,1,dots,p-1
com as operações
x + y ;=; (x+y)bmod p,
x cdot y ;=; (x,y)bmod p
é um corpo.
Isto significa verificar as 11 propriedades (axiomas) de corpo: fecho em adição e multiplicação; comutatividade e associatividade de cada operação; existência de elemento neutro aditivo e multiplicativo; existência de inverso aditivo para todo x e de inverso multiplicativo para todo xneq0; e distributividade da multiplicação sobre a adição.

Passo 2

Fecho em adição e multiplicação.
Como x+y e x,y são inteiros, ao tomar o resto da divisão por p obtemos sempre um número em 0,1,dots,p-1. Logo, tanto
;x+yequiv (x+y)bmod pinZp
quanto
;xcdot yequiv (x,y)bmod pinZp.

Passo 3

Comutatividade e associatividade da adição.
A adição em Zp herda-se da adição em Z, que é comutativa e associativa. Como a operação “ bmod p” apenas reduz o resultado sem alterar essas propriedades, vale
x+y = y+x,
(x+y)+z = x+(y+z)
em Zp.

Passo 4

Elemento neutro e inverso aditivo.
O elemento 0 satisfaz
x+0 equiv (x+0)bmod p = x,
logo é o neutro aditivo.
Para cada xinZp, o inverso aditivo é
(-x)equiv (p-x)bmod p,
pois
x + (p-x) equiv 0 pmod p

Passo 5

Comutatividade e associatividade da multiplicação.
Novamente essas propriedades vêm da multiplicação em Z. Para quaisquer x,y,zinZp, temos
xcdot y = ycdot x,
(xcdot y)cdot z = xcdot (ycdot z)
em Zp, pois reduzir módulo p não afeta comutatividade nem associatividade.

Passo 6

Elemento neutro e inverso multiplicativo para xneq0.
O elemento 1 satisfaz
xcdot 1 equiv x pmod p,
logo é o neutro multiplicativo.
Como p é primo, gcd(x,p)=1 para todo xneq0, e pelo Teorema de Bézout existem u,vinZ tais que
u,x + v,p = 1
Então
u,x equiv 1 pmod p,
isto é, u é o inverso multiplicativo de x em Zp.

Passo 7

Distributividade.
Para quaisquer x,y,zinZp, na aritmética inteira vale
x,(y+z) = x,y + x,z
Aplicando “ bmod p” em ambos os lados, fica
xcdot (y+z) equiv xcdot y + xcdot z pmod p,
isto é, a multiplicação distribui sobre a adição em Zp.

Resposta

O conjunto Zp=0,1,dots,p-1 com as operações
;x+y=(x+y)bmod p;e; xcdot y=(x,y)bmod p
satisfaz todos os 11 axiomas de corpo. Portanto Zp é um corpo.

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