Para que um conjunto, juntamente com operações de adição e multiplicação entre seus elementos, seja considerado um corpo, deve satisfazer a 11 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são corpos, verificando a validade de cada axioma.
Os números inteiros
e as seguintes operações:
Adição
onde
é o resto da divisão
.
Multiplicação
.
Os números inteiros
Adição
Multiplicação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
com as operações
com as operações
é um corpo.
Isto significa verificar as propriedades (axiomas) de corpo: fecho em adição e multiplicação; comutatividade e associatividade de cada operação; existência de elemento neutro aditivo e multiplicativo; existência de inverso aditivo para todo
e de inverso multiplicativo para todo
; e distributividade da multiplicação sobre a adição.
Isto significa verificar as
Passo 2
Fecho em adição e multiplicação.
Como e
são inteiros, ao tomar o resto da divisão por
obtemos sempre um número em
. Logo, tanto
quanto
.
Como
quanto
Passo 3
Comutatividade e associatividade da adição.
A adição em herda-se da adição em
, que é comutativa e associativa. Como a operação “
” apenas reduz o resultado sem alterar essas propriedades, vale
A adição em
em
.
Passo 4
Elemento neutro e inverso aditivo.
O elemento satisfaz
O elemento
logo é o neutro aditivo.
Para cada , o inverso aditivo é
Para cada
pois
Passo 5
Comutatividade e associatividade da multiplicação.
Novamente essas propriedades vêm da multiplicação em . Para quaisquer
, temos
Novamente essas propriedades vêm da multiplicação em
em
, pois reduzir módulo
não afeta comutatividade nem associatividade.
Passo 6
Elemento neutro e inverso multiplicativo para
.
O elemento satisfaz
O elemento
logo é o neutro multiplicativo.
Como é primo,
para todo
, e pelo Teorema de Bézout existem
tais que
Como
Então
isto é,
é o inverso multiplicativo de
em
.
Passo 7
Distributividade.
Para quaisquer , na aritmética inteira vale
Para quaisquer
Aplicando “
” em ambos os lados, fica
isto é, a multiplicação distribui sobre a adição em
.
Resposta
O conjunto
com as operações
;e;
satisfaz todos os axiomas de corpo. Portanto
é um corpo.
satisfaz todos os