Mostre que o conjunto dos vetores
soluções do sistema de equações abaixo é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de todos os vetores
é um subespaço de é exatamente o núcleo de uma aplicação linear, que sempre é subespaço do domínio.
Passo 2
Para encontrar a forma geral das soluções, eliminamos variáveis. Da primeira equação vem
Substituindo em
2x - 2y + z = 0 obtém-se
Logo
Verificando na terceira equação:
que está satisfeita automaticamente. Portanto o conjunto das soluções é
Passo 3
Denote
S = ,t(1,3,4)mid tinR . Então:
-
contém o vetor zero (bastaS ).t=0 - Se
eu=t1(1,3,4)in S , entãov=t2(1,3,4)in S
- Se
ealphainR , entãou=t1(1,3,4)
Como
S contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, segue que
S é um subespaço de
R^3 .
Resposta
O conjunto solução é o subespaço unidimensional de
R^3 gerado por
(1,3,4) , isto é,