Mostre que o conjunto dos vetores (x, y, z) in R^3 soluções do sistema de equações abaixo é um subespaço de R^3.
r x+y-z=0 2 x-2 y+z=0 -x+3 y-2 z=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de todos os vetores
é um subespaço de é exatamente o núcleo de uma aplicação linear, que sempre é subespaço do domínio.

Passo 2

Para encontrar a forma geral das soluções, eliminamos variáveis. Da primeira equação vem
z = x + y
Substituindo em 2x - 2y + z = 0 obtém-se
2x - 2y + (x + y) = 0 ;Longrightarrow; 3x - y = 0 ;Longrightarrow; y = 3x
Logo
z = x + 3x = 4x
Verificando na terceira equação:
- x + 3y - 2z = -x + 9x - 8x = 0,
que está satisfeita automaticamente. Portanto o conjunto das soluções é
(x,y,z)mid y=3x,;z=4x =,x(1,3,4)mid xinR

Passo 3

Denote S = ,t(1,3,4)mid tinR. Então:
  1. S contém o vetor zero (basta t=0).
  2. Se u=t1(1,3,4)in S e v=t2(1,3,4)in S, então
u+v=(t1+t2)(1,3,4)in S
  1. Se alphainR e u=t1(1,3,4), então
alpha,u=(alpha,t1)(1,3,4)in S
Como S contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, segue que S é um subespaço de R^3.

Resposta

O conjunto solução é o subespaço unidimensional de R^3 gerado por (1,3,4), isto é,
,t(1,3,4)mid tinR

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