Escreva o vetor v=(1,-2,5) do R^3 como combinação linear dos vetores u1=(1,1,1), u2= (1,2,3), u3=(2,-1,1), se possível.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor v=(1,-2,5) em R^3 como combinação linear dos vetores
u1=(1,1,1), u2=(1,2,3) e u3=(2,-1,1).
O conteúdo é combinação linear e vamos precisar resolver um sistema linear de três equações e três incógnitas.

Passo 2

Suponhamos
a,u1 + b,u2 + c,u3 = v
Igualando coordenadas, obtemos o sistema
a + b + 2c = 1,
a + 2b - c = -2,
a + 3b + c = 5

Passo 3

Para eliminar a, subtraímos a primeira equação da segunda:
(a + 2b - c) - (a + b + 2c) = -2 - 1
que resulta em
b - 3c = -3 Longrightarrow b = -3 + 3c
Além disso, da primeira equação isolamos
a = 1 - b - 2c

Passo 4

Substituímos b e a na terceira equação:
(1 - b - 2c) + 3b + c = 5
Com b = -3 + 3c isso vira
1 -(-3+3c)-2c +3(-3+3c)+c = 5
-5 +5c = 5 Longrightarrow c = 2
Logo
b = -3 + 3cdot2 = 3, a = 1 - 3 - 2cdot2 = -6

Resposta

v = -6,u1 + 3,u2 + 2,u3.

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