Se o conjunto
é L.I., mostre que o mesmo ocorre com o conjunto de vetores
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. O enunciado nos diz que temos um conjunto de vetores
que é linearmente independente (LI). Nosso objetivo é mostrar que o conjunto formado por
também é linearmente independente. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e as propriedades de vetores linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, lembramos o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto
é LI se a única solução para a equação
é
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o novo conjunto
. Precisamos mostrar que a única solução para a combinação linear
é
.
Passo 4
Vamos expandir a equação:
Agrupando os termos com
, temos:
Passo 5
Como o conjunto original
é linearmente independente, a única solução para a combinação linear dele ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Das equações
, já sabemos que todos os
para
são zero. Substituindo esses valores na primeira equação:
Resposta
Portanto, a única solução é
, mostrando que o conjunto
é linearmente independente.