Se o conjunto v1, v2, v3, ldots, vm é L.I., mostre que o mesmo ocorre com o conjunto de vetores v1, v2-v1, v3-v1, ldots, vm-v1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. O enunciado nos diz que temos um conjunto de vetores v1, v2, v3, ldots, vm que é linearmente independente (LI). Nosso objetivo é mostrar que o conjunto formado por v1, v2-v1, v3-v1, ldots, vm-v1 também é linearmente independente. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e as propriedades de vetores linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, lembramos o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto u1, u2, ldots, uk é LI se a única solução para a equação a1u1 + a2u2 + ldots + akuk = 0 é a1 = a2 = ldots = ak = 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar o novo conjunto v1, v2-v1, v3-v1, ldots, vm-v1. Precisamos mostrar que a única solução para a combinação linear b1v1 + b2(v2-v1) + b3(v3-v1) + ldots + bm(vm-v1) = 0 é b1 = b2 = ldots = bm = 0.

Passo 4

Vamos expandir a equação:
b1v1 + b2v2 - b2v1 + b3v3 - b3v1 + ldots + bmvm - bmv1 = 0
Agrupando os termos com v1, temos:
(b1 - b2 - b3 - ldots - bm)v1 + b2v2 + b3v3 + ldots + bmvm = 0

Passo 5

Como o conjunto original v1, v2, v3, ldots, vm é linearmente independente, a única solução para a combinação linear dele ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
b1 - b2 - b3 - ldots - bm = 0
b2 = 0
b3 = 0
vdots
bm = 0

Passo 6

Das equações b2 = 0, b3 = 0, ldots, bm = 0, já sabemos que todos os bi para i >= 2 são zero. Substituindo esses valores na primeira equação:
b1 - 0 - 0 - ldots - 0 = 0 Rightarrow b1 = 0

Resposta

Portanto, a única solução é b1 = b2 = ldots = bm = 0, mostrando que o conjunto v1, v2-v1, v3-v1, ldots, vm-v1 é linearmente independente.

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