$
\begin{aligned}
x_{1}+x_{2}-x_{3} & =0 \\
-2 x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & =0 \\
-x_{1}+x_{3} & =0
\end{aligned}
$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações lineares com três variáveis: x1, x2 e x3. Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como o método de substituição ou eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a terceira equação: -x1 + x3 = 0. Isso pode ser reescrito como x3 = x1. Legal, já conseguimos expressar x3 em função de x1.

Passo 3

Agora que sabemos que x3 = x1, podemos substituir x3 por x1 nas outras duas equações para simplificar o sistema. Vamos fazer isso:
  1. Na primeira equação: x1 + x2 - x3 = 0 fica x1 + x2 - x1 = 0. Simplificando, temos x2 = 0.

Passo 4

Com x2 = 0 e x3 = x1, vamos substituir esses valores na segunda equação: -2x1 - x2 + 2x3 = 0.
Substituindo:
-2x1 - 0 + 2x1 = 0
Simplificando:
0 = 0
Isso significa que a segunda equação não nos dá informação nova, apenas confirma o que já sabemos.

Passo 5

Então, até agora sabemos que x2 = 0 e x3 = x1. Mas ainda precisamos encontrar o valor de x1. No sistema, isso significa que x1 pode ser qualquer número real, e x3 será igual a ele. Ou seja, temos infinitas soluções onde x1 é um parâmetro livre.

Resposta

As soluções para o sistema são:
x1 = t, x2 = 0, x3 = t onde t in R

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