Encontre a interseção dos seguintes planos:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a interseção de três planos no espaço, ou seja, o ponto que está nos três planos ao mesmo tempo. Para isso, vamos trabalhar com sistemas de equações lineares, que é o conteúdo que precisamos usar aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações dos três planos:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que satisfazem as três equações simultaneamente. Para isso, podemos usar o método de eliminação, que consiste em combinar as equações para eliminar uma variável de cada vez.
Passo 4
Vamos começar eliminando uma variável. Observando as três equações, podemos tentar eliminar
primeiro. Vamos subtrair a equação
da equação
:
Passo 5
Agora, vamos eliminar
novamente, mas usando a equação
e a equação
. Vamos subtrair
da
:
Passo 6
Agora temos duas novas equações sem
:
Podemos simplificar a Equação 5 dividindo todos os termos por 2:
Passo 7
Agora, temos o sistema:
Vamos somar as duas equações para eliminar uma variável:
Isso significa que as duas equações são equivalentes e não nos dão informação adicional. Então, vamos resolver uma delas para descobrir uma relação entre
e
. Vamos usar a Equação 4:
Passo 8
Agora que sabemos que
, vamos substituir esse valor na uma das equações originais para encontrar
. Vamos usar a equação
:
Passo 9
Agora que temos
e
, vamos encontrar o valor de
substituindo esses valores em uma das equações originais. Vamos usar a equação
:
Isso confirma que nossos valores estão corretos, mas não nos dá o valor específico de
. Como as equações são dependentes, podemos escolher um valor para
e encontrar
e
correspondentes. Porém, isso indica que os planos são paralelos ou coincidentes e não têm um ponto de interseção único.
Resposta
Os três planos não se interceptam em um único ponto; não há solução única para o sistema.