Encontre a interseção dos seguintes planos:
pi1: x-y-z=1, pi2: 2 x-2 y-z=3 e pi3:-x+y-z=-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a interseção de três planos no espaço, ou seja, o ponto que está nos três planos ao mesmo tempo. Para isso, vamos trabalhar com sistemas de equações lineares, que é o conteúdo que precisamos usar aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações dos três planos:
pi1: x - y - z = 1
pi2: 2x - 2y - z = 3
pi3: -x + y - z = -3

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar os valores de x , y e z que satisfazem as três equações simultaneamente. Para isso, podemos usar o método de eliminação, que consiste em combinar as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 4

Vamos começar eliminando uma variável. Observando as três equações, podemos tentar eliminar z primeiro. Vamos subtrair a equação pi1 da equação pi2:
pi2 - pi1: (2x - 2y - z) - (x - y - z) = 3 - 1
2x - 2y - z - x + y + z = 2
x - y = 2 (Equação 4) çã

Passo 5

Agora, vamos eliminar z novamente, mas usando a equação pi3 e a equação pi1. Vamos subtrair pi1 da pi3:
pi3 - pi1: (-x + y - z) - (x - y - z) = -3 - 1
-x + y - z - x + y + z = -4
-2x + 2y = -4 (Equação 5) çã

Passo 6

Agora temos duas novas equações sem z :
x - y = 2 (Equação 4) çã
-2x + 2y = -4 (Equação 5) çã
Podemos simplificar a Equação 5 dividindo todos os termos por 2:
- x + y = -2 (Equação 6) çã

Passo 7

Agora, temos o sistema:
x - y = 2 (Equação 4) çã
- x + y = -2 (Equação 6) çã
Vamos somar as duas equações para eliminar uma variável:
(x - y) + (-x + y) = 2 + (-2)
0 = 0
Isso significa que as duas equações são equivalentes e não nos dão informação adicional. Então, vamos resolver uma delas para descobrir uma relação entre x e y . Vamos usar a Equação 4:
x - y = 2 Rightarrow x = y + 2

Passo 8

Agora que sabemos que x = y + 2 , vamos substituir esse valor na uma das equações originais para encontrar z . Vamos usar a equação pi1:
x - y - z = 1
(y + 2) - y - z = 1
2 - z = 1 Rightarrow z = 1

Passo 9

Agora que temos z = 1 e x = y + 2 , vamos encontrar o valor de y substituindo esses valores em uma das equações originais. Vamos usar a equação pi3:
- x + y - z = -3
- (y + 2) + y - 1 = -3
- y - 2 + y - 1 = -3
-3 = -3
Isso confirma que nossos valores estão corretos, mas não nos dá o valor específico de y . Como as equações são dependentes, podemos escolher um valor para y e encontrar x e z correspondentes. Porém, isso indica que os planos são paralelos ou coincidentes e não têm um ponto de interseção único.

Resposta

Os três planos não se interceptam em um único ponto; não há solução única para o sistema.

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