Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -1 & -2 \\\\ 2 & -6 & -3 & -5 \\\\ 1 & -4 & -4 & -4 \\\\ -2 & 2 & -3 & k \end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Matriz aumentada (peguei estes coeficientes do enunciado):
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -1 & -2 \\\\ 2 & -6 & -3 & -5 \\\\ 1 & -4 & -4 & -4 \\\\ -2 & 2 & -3 & k \end{array}\right]
  • O que se pede: indicar o valor de k (entre as opções 0,1,2,3,4,5,6,7) de forma que o sistema tenha solução.

Passo 2

Primeiro conceito importante (didático, passo a passo): quando um sistema linear é representado por uma matriz aumentada \big[\,A\mid b\,\big], o sistema tem solução se e somente se a classificação (posto) da matriz dos coeficientes A for igual ao posto da matriz aumentada \big[\,A\mid b\,\big]. Na prática, ao fazer eliminação por linhas (eliminação de Gauss), uma situação sinal de inconsistência aparece quando, após eliminar, aparece uma linha do tipo
\big[\,0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\ c\,\big]
com c\neq 0. Isso corresponde a uma equação 0= c impossível. Portanto, ao fazer operações por linha, devemos olhar se surge uma linha nula nas colunas de coeficientes enquanto o termo independente não for zero; nesse caso o sistema é impossível. Vou aplicar eliminação por linhas e verificar a condição em função de k.

Passo 3

Começo a eliminação usando operações elementares nas linhas (vou chamar as linhas originais de r_1,r_2,r_3,r_4).
Matriz inicial:
\begin{array}{r} r_1:\\\ r_2:\\\ r_3:\\\ r_4: \end{array} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -1 & -2 \\\\ 2 & -6 & -3 & -5 \\\\ 1 & -4 & -4 & -4 \\\\ -2 & 2 & -3 & k \end{array}\right]
Elimino os elementos abaixo do pivô da primeira coluna ( 1 em r_1):
  • Faço r_2 \leftarrow r_2 - 2r_1. Calculando:
    r_2 - 2r_1 = [2,-6,-3|-5] - 2[1,-2,-1|-2] = [0,-2,-1|-1].
  • Faço r_3 \leftarrow r_3 - r_1. Calculando:
    r_3 - r_1 = [1,-4,-4|-4] - [1,-2,-1|-2] = [0,-2,-3|-2].
  • Faço r_4 \leftarrow r_4 + 2r_1. Calculando:
    r_4 + 2r_1 = [-2,2,-3|k] + 2[1,-2,-1|-2] = [0,-2,-5|k-4].
Após essas operações a matriz fica:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -1 & -2 \\\\ 0 & -2 & -1 & -1 \\\\ 0 & -2 & -3 & -2 \\\\ 0 & -2 & -5 & k-4 \end{array}\right]

Passo 4

Agora uso a segunda linha (agora r_2 = [0,-2,-1|-1]) para eliminar os -2 das linhas 3 e 4 na segunda coluna.
  • Faço r_3 \leftarrow r_3 - r_2. Calculando:
    r_3 - r_2 = [0,-2,-3|-2] - [0,-2,-1|-1] = [0,0,-2|-1].
  • Faço r_4 \leftarrow r_4 - r_2. Calculando:
    r_4 - r_2 = [0,-2,-5|k-4] - [0,-2,-1|-1] = [0,0,-4|k-3].
Agora a matriz é:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -1 & -2 \\\\ 0 & -2 & -1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -2 & -1 \\\\ 0 & 0 & -4 & k-3 \end{array}\right]

Passo 5

Continuo eliminando na terceira coluna. Uso a terceira linha r_3=[0,0,-2|-1] como pivô para zerar o elemento de r_4:
  • Faço r_4 \leftarrow r_4 - 2r_3. Calculando: r_4 - 2r_3 = [0,0,-4|k-3] - 2[0,0,-2|-1] = [0,0,0|\,k-3 -2(-1)\,].O termo independente fica k-3 - 2(-1) = k-3 +2 = k-1.
Portanto a quarta linha torna-se [0\\\ 0\\\ 0\mid k-1].

Passo 6

Agora vem a conclusão lógica sobre consistência: a quarta linha representa a equação
0 = k-1.
Para o sistema ser consistente (ter solução) é necessário que essa equação seja verdadeira, ou seja que k-1=0. Se k-1\neq 0 então aparece a linha impossível 0 = não zero e o sistema não tem solução.
Logo a condição de existência de solução é
k-1=0 \quad\Longrightarrow\quad k=1.

Passo 7

Para reforçar e te deixar mais tranquilo: quando k=1 o sistema é consistente. Posso ainda mostrar rapidamente a solução única que surge (apenas para treinar back-substitution):
Com k=1 a matriz reduzida é (após as operações já feitas):
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -1 & -2 \\\\ 0 & -2 & -1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Da terceira linha: -2x_3 = -1 \Rightarrow x_3 = \dfrac{1}{2}.
Da segunda linha: -2x_2 - x_3 = -1 \Rightarrow -2x_2 - \dfrac{1}{2} = -1 \Rightarrow x_2 = \dfrac{1}{4}.
Da primeira linha: x_1 - 2x_2 - x_3 = -2 \Rightarrow x_1 - 2\cdot\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = -2 \Rightarrow x_1 = -1.
Portanto, para k=1 o sistema tem solução e esta é (x_1,x_2,x_3)=\big(-1,\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}\big). Para qualquer outro valor de k o sistema é impossível.

Resposta

(B) 1

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