Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações (**).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-5,1),(-4,4) e (-5,-5).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 14.3
(B) 15.3
(C) 16.3
(D) 17.3
(E) 18.3
(F) 19.3
(G) 20.3
(H) 21.3
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
Pede: determinar o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-5,1),(-4,4) e (-5,-5). Em seguida, escolher, dentre as opções dadas, o valor mais próximo do raio.
Informações fornecidas (peguei estes pontos do enunciado): os três pontos são \,(-5,1),\;(-4,4) e \,(-5,-5).
Fórmula do círculo no formato expandido (dada no enunciado): x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
com as relações entre (a,b,c) e o centro (x_{0},y_{0}) e raio r: a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Passo 2
Montar as equações lineares para a,b,c usando cada ponto.
Para cada ponto (x,y) vale \,c=x^{2}+a x+y^{2}+b y. Vou escrever c obtido de cada ponto:
Para (-5,1): c = 25 + a(-5) + 1 + b(1) = 26 -5a + b.
Para (-4,4): c = 16 + a(-4) + 16 + b(4) = 32 -4a + 4b.
Para (-5,-5): c = 25 + a(-5) + 25 + b(-5) = 50 -5a -5b.
Passo 3
Eliminar c subtraindo as expressões apropriadas para obter equações lineares em a e b.
Igualando as duas primeiras expressões (c de (-5,1) e de (-4,4)):
26 -5a + b = 32 -4a +4b.
Reorganizando:
-5a + b - (-4a + 4b) = 32-26 \quad\Rightarrow\quad -a -3b = 6.
Multiplicando por -1:
a + 3b = -6. \tag{1}
Igualando a expressão de (-5,1) com a de (-5,-5):
26 -5a + b = 50 -5a -5b.
Os termos em a cancelam; reorganizando:
b +5b = 50-26 \quad\Rightarrow\quad 6b = 24 \quad\Rightarrow\quad b = 4. \tag{2}
Passo 4
Substituir b=4 em (1) para obter a:
a + 3\cdot 4 = -6 \quad\Rightarrow\quad a +12 = -6 \quad\Rightarrow\quad a = -18.
Passo 5
Calcular c substituindo a e b numa das expressões para c (uso a de (-5,1)):
c = 26 -5a + b = 26 -5(-18) + 4 = 26 +90 +4 = 120.
(Verificação rápida: usando (-4,4) dá 32 -4(-18)+4\cdot4 =32+72+16=120, consistente.)
Passo 6
Obter o centro (x_{0},y_{0}) a partir de a e b. Lembrando \,a=-2x_{0} e \,b=-2y_{0}:
Aproximação decimal e escolha da opção.
Calcular \sqrt{205}. Sabendo que 14^{2}=196 e 15^{2}=225, então \sqrt{205} está entre 14 e 15. Uma aproximação rápida dá
r=\sqrt{205}\approx 14,318.
Entre as opções fornecidas, a mais próxima é (\mathrm{A})\;14,3.