Sejam P=(4,1,-1) e r:(x, y, z)=(2+t, 4-t, 1+2 t).
(a) Verifique que P \notin r.
(b) Determine a equação do plano que contém a reta r e o ponto P.
(c) Seja s a reta que contém o ponto Q=(2,-1,1) e é ortogonal ao plano \pi do item (b), determine \pi \cap s.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(4,1,-1) e a reta
r:\,(x,y,z) = (2+t,\;4-t,\;1+2t).
Precisamos verificar que P\notin r, depois achar a equação do plano \pi que contém r e P, e por fim determinar a interseção de \pi com a reta s que passa por Q=(2,-1,1) e é ortogonal a \pi.

Passo 2

Para ver se P está em r igualamos coordenadas a (2+t,4-t,1+2t).
Pelas componentes x e y temos
4 = 2 + t \implies t = 2, \qquad 1 = 4 - t \implies t = 3.
Como não há único t que satisfaça ambos, concluímos que P\notin r.

Passo 3

Para achar o plano \pi que contém r e P, escolhemos o ponto A=(2,4,1) em r (quando t=0) e usamos o vetor diretor de r,
\vec v = (1,-1,2),
e o vetor \overrightarrow{AP} = P - A = (2,-3,-2). O vetor normal ao plano é
\vec n = \vec v \times \overrightarrow{AP} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & -1 & 2\\\\ 2 & -3 & -2 \end{vmatrix} = (8,\,6,\,-1).
Logo a equação de \pi é
8(x-2) + 6(y-4) -1\,(z-1) = 0
que se expande para
8x + 6y - z - 39 = 0.

Passo 4

A reta s que contém Q=(2,-1,1) e é ortogonal a \pi tem direção paralela a \vec n=(8,6,-1). Logo sua forma paramétrica é
s:\quad x = 2 + 8u,\quad y = -1 + 6u,\quad z = 1 - u.

Passo 5

Para achar \pi\cap s, substituímos x,y,z de s na equação de \pi:
8(2+8u) + 6(-1+6u) - \bigl(1 - u\bigr) - 39 = 0.
Isso dá
16 + 64u -6 +36u -1 +u -39 = 0 \;\Longrightarrow\; 101u -30 = 0 \;\Longrightarrow\; u = \frac{30}{101}.
O ponto de interseção é
\Bigl( 2 + 8\cdot\frac{30}{101},\; -1 + 6\cdot\frac{30}{101},\; 1 - \frac{30}{101} \Bigr) = \Bigl(\tfrac{442}{101},\,\tfrac{79}{101},\,\tfrac{71}{101}\Bigr).

Resposta

(a) P\notin r.
(b) Equação do plano \pi:
8x + 6y - z - 39 = 0.
(c) \pi\cap s = \bigl(\tfrac{442}{101},\,\tfrac{79}{101},\,\tfrac{71}{101}\bigr).

Exercícios relacionados