Q3: Sabendo que o ponto (3,-5,-4, k) pertence ao plano (2,2,3,1)+\operatorname{span}\{(-3,-1,-1,2),(-2,3,3,1)\}, assinale o valor de k :
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado diz que o ponto (3,-5,-4,k) pertence ao plano afim em \mathbb{R}^4 dado por
(2,2,3,1)+\operatorname{span}\{(-3,-1,-1,2),\,(-2,3,3,1)\}.
Aqui o conteúdo é representar o plano como
P_0 + a\,v_1 + b\,v_2
e encontrar os escalares a,b que levam P_0 ao ponto dado; daí calcular k.

Passo 2

Escrevemos a condição de pertencimento em coordenadas:
(2,2,3,1) + a\,(-3,-1,-1,2) + b\,(-2,3,3,1) \;=\; (3,-5,-4,k).

Passo 3

Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} 2 - 3a - 2b = 3,\\\\ 2 - a + 3b = -5,\\\\ 3 - a + 3b = -4,\\\\ 1 + 2a + b = k. \end{cases}
As duas equações centrais são idênticas em a,b, então basta usar as duas primeiras.

Passo 4

Da segunda equação
2 - a + 3b = -5 \quad\Longrightarrow\quad -a + 3b = -7 \quad\Longrightarrow\quad a = 3b + 7.
Substituindo na primeira
2 - 3(3b+7) - 2b = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2 - 9b -21 -2b = 3 \quad\Longrightarrow\quad -11b = 22 \quad\Longrightarrow\quad b = -2,
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a = 3(-2) + 7 = 1.

Passo 5

Agora usamos a quarta equação para k:
k = 1 + 2a + b = 1 + 2\cdot1 + (-2) = 1.

Resposta

O valor de k é 1, alternativa (E).

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