Q4: O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que
7 x_{1}+x_{3}=-3 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 3 \\\\ 11 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 3 \\\\ 11 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -5 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 7\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ -10 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-6 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ -2 \\\\ -17 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -7 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ -2 \\\\ -17 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 1 \\\\ 18 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 6\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(\mathrm{G})\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ -10 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -7 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -4 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 1 \\\\ 18 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -6\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar qual das representações (A)–(H) descreve exatamente o conjunto de todos os \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} tais que
7x_{1}+x_{3}=-3.
Informações relevantes dadas:
  • A condição que define o conjunto é a equação \;7x_{1}+x_{3}=-3\;.
  • Cada alternativa tem a forma \displaystyle p+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}, com p\in\mathbb{R}^{4} e v_{i}\in\mathbb{R}^{4}.
  • Para que uma alternativa esteja correta, p deve satisfazer \;7p_{1}+p_{3}=-3\; (ou seja, p deve ser uma solução particular) e cada vetor da base do \operatorname{span} deve satisfazer a equação homogênea \;7v_{1}^{(1)}+v_{1}^{(3)}=0\; (ou seja, deve pertencer ao núcleo da forma linear L(x)=7x_{1}+x_{3}). Além disso, o \operatorname{span} deve gerar todo o espaço de soluções homogêneas (dimensão 3) ou pelo menos três vetores linearmente independentes do núcleo.

Passo 2

Explicação didática do que é o conjunto solução e como testá-lo na prova.
  • A equação linear \;7x_{1}+x_{3}=-3\; define um subespaço afim de \mathbb{R}^{4}: é um deslocamento de um subespaço linear (o núcleo da forma linear) por uma solução particular.
  • O núcleo (soluções da homogênea \;7x_{1}+x_{3}=0\;) é o conjunto de vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) com x_{3}=-7x_{1} e x_{2},x_{4} livres. Podemos parametrizar: \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},onde t,s,u\in\mathbb{R}. Assim o núcleo tem dimensão 3 e um conjunto conveniente de geradores é \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
  • Uma solução particular simples é, por exemplo, tomar x_{1}=0,x_{2}=0,x_{4}=0 e então x_{3}=-3; isto é p_{0}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix},pois 7\cdot 0 + (-3) = -3.
  • Portanto a forma geral das soluções é p_{0} + \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
  • Na prova, para verificar uma alternativa do tipo p+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é suficiente:
    1. Checar que p satisfaz \;7p_{1}+p_{3}=-3\;.
    2. Checar que, para cada v do conjunto gerador, 7v_{1}+v_{3}=0 (ou seja, v pertence ao núcleo).
    3. Verificar que os três vetores do span são linearmente independentes (ou pelo menos geram um subespaço de dimensão 3); se sim, então o span é exatamente o núcleo e a alternativa está correta.

Passo 3

Agora aplico o teste item a item. Para cada alternativa calculo 7p_{1}+p_{3} e, para cada vetor gerador v, calculo 7v_{1}+v_{3}. Vou mostrar os cálculos de forma direta.
Alternativa (A):
  • p=\begin{pmatrix}-3\\\ 3\\\ 11\\\ -1\end{pmatrix}. Calculo 7p_{1}+p_{3}=7(-3)+11=-21+11=-10\neq-3,então p não é solução da equação; (A) está errada.

Passo 4

Alternativa (B):
  • Mesmo p=\begin{pmatrix}-3\\\ 3\\\ 11\\\ -1\end{pmatrix} aparece em (B), portanto também falha pelo mesmo cálculo: 7p_{1}+p_{3}=-10\neq-3,então (B) está errada.

Passo 5

Alternativa (C):
  • p=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -10\\\ -2\end{pmatrix}. Calculo 7p_{1}+p_{3}=7(1)+(-10)=7-10=-3,logo p é uma solução particular (bom). Agora os geradores:
    • v_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -7\end{pmatrix}: 7\cdot 0 + 0 = 0 (ok).
    • v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -5\\\ 0\end{pmatrix}: 7\cdot 0 + (-5) = -5 \neq 0 (falha).
      Assim (C) está errada porque um gerador não pertence ao núcleo.

Passo 6

Alternativa (D):
  • p=\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ -17\\\ 1\end{pmatrix}. Calculo 7p_{1}+p_{3}=7(2)+(-17)=14-17=-3,então p é solução particular. Geradores:
    • v_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ -7\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}: 7\cdot 0 + 0 = 0 (ok).
    • v_{2}=\begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: 7(-7)+0=-49\neq 0 (falha).
      Logo (D) está errada.

Passo 7

Alternativa (E):
  • p=\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ -17\\\ 1\end{pmatrix} (mesmo de D), já verificamos que 7p_{1}+p_{3}=-3. Geradores:
    • v_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -7\end{pmatrix}: 7\cdot 0 + 0 = 0 (ok).
    • v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}: 7\cdot 0 + (-2) = -2\neq 0 (falha).
      Portanto (E) está errada.

Passo 8

Alternativa (F):
  • p=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 18\\\ 2\end{pmatrix}. Verifico 7p_{1}+p_{3}=7(-3)+18=-21+18=-3,então p é solução particular (ótimo).
  • Geradores:
    • v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix}: 7\cdot 1 + (-7)=7-7=0 (pertence ao núcleo).
    • v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 6\end{pmatrix}: 7\cdot 0 + 0=0 (pertence ao núcleo).
    • v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: 7\cdot 0 + 0=0 (pertence ao núcleo).
  • Verifico independência linear dos três vetores do span. Suponha \alpha\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 6\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.Olhando coordenada a coordenada:
    • 1ª coord.: \alpha=0.
    • 2ª coord.: 3\gamma=0\Rightarrow \gamma=0.
    • 4ª coord.: 6\beta=0\Rightarrow \beta=0.
      Com isso \alpha=\beta=\gamma=0, logo os vetores são linearmente independentes e geram um espaço de dimensão 3, que é exatamente o núcleo. Portanto o span dado é precisamente o núcleo da forma linear.
  • Conclusão: em (F) p é uma solução particular e os três vetores geradores pertencem ao núcleo e são independentes; portanto (F) descreve exatamente o conjunto procurado.

Passo 9

Verifico rapidamente as alternativas restantes apenas para checar consistência (já eliminadas antes, mas resumo):
  • (G): o segundo gerador \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} não satisfaz a condição do núcleo ( 7\cdot 2 + 0 =14\neq0 ), logo (G) falha.
  • (H): o primeiro gerador \begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} 7(-7)+1=-48\neq0, logo (H) falha.

Resposta

(F)

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