O enunciado pede: determinar qual das representações (A)–(H) descreve exatamente o conjunto de todos os \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} tais que
7x_{1}+x_{3}=-3.
Informações relevantes dadas:
A condição que define o conjunto é a equação \;7x_{1}+x_{3}=-3\;.
Cada alternativa tem a forma \displaystyle p+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}, com p\in\mathbb{R}^{4} e v_{i}\in\mathbb{R}^{4}.
Para que uma alternativa esteja correta, p deve satisfazer \;7p_{1}+p_{3}=-3\; (ou seja, p deve ser uma solução particular) e cada vetor da base do \operatorname{span} deve satisfazer a equação homogênea \;7v_{1}^{(1)}+v_{1}^{(3)}=0\; (ou seja, deve pertencer ao núcleo da forma linear L(x)=7x_{1}+x_{3}). Além disso, o \operatorname{span} deve gerar todo o espaço de soluções homogêneas (dimensão 3) ou pelo menos três vetores linearmente independentes do núcleo.
Passo 2
Explicação didática do que é o conjunto solução e como testá-lo na prova.
A equação linear \;7x_{1}+x_{3}=-3\; define um subespaço afim de \mathbb{R}^{4}: é um deslocamento de um subespaço linear (o núcleo da forma linear) por uma solução particular.
O núcleo (soluções da homogênea \;7x_{1}+x_{3}=0\;) é o conjunto de vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) com x_{3}=-7x_{1} e x_{2},x_{4} livres. Podemos parametrizar:\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},onde t,s,u\in\mathbb{R}. Assim o núcleo tem dimensão 3 e um conjunto conveniente de geradores é\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Uma solução particular simples é, por exemplo, tomar x_{1}=0,x_{2}=0,x_{4}=0 e então x_{3}=-3; isto ép_{0}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix},pois 7\cdot 0 + (-3) = -3.
Portanto a forma geral das soluções ép_{0} + \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Na prova, para verificar uma alternativa do tipo p+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é suficiente:
Checar que p satisfaz \;7p_{1}+p_{3}=-3\;.
Checar que, para cada v do conjunto gerador, 7v_{1}+v_{3}=0 (ou seja, v pertence ao núcleo).
Verificar que os três vetores do span são linearmente independentes (ou pelo menos geram um subespaço de dimensão 3); se sim, então o span é exatamente o núcleo e a alternativa está correta.
Passo 3
Agora aplico o teste item a item. Para cada alternativa calculo 7p_{1}+p_{3} e, para cada vetor gerador v, calculo 7v_{1}+v_{3}. Vou mostrar os cálculos de forma direta.
Alternativa (A):
p=\begin{pmatrix}-3\\\ 3\\\ 11\\\ -1\end{pmatrix}. Calculo7p_{1}+p_{3}=7(-3)+11=-21+11=-10\neq-3,então p não é solução da equação; (A) está errada.
Passo 4
Alternativa (B):
Mesmo p=\begin{pmatrix}-3\\\ 3\\\ 11\\\ -1\end{pmatrix} aparece em (B), portanto também falha pelo mesmo cálculo:7p_{1}+p_{3}=-10\neq-3,então (B) está errada.
Passo 5
Alternativa (C):
p=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -10\\\ -2\end{pmatrix}. Calculo7p_{1}+p_{3}=7(1)+(-10)=7-10=-3,logo p é uma solução particular (bom). Agora os geradores:
v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -5\\\ 0\end{pmatrix}: 7\cdot 0 + (-5) = -5 \neq 0 (falha).
Assim (C) está errada porque um gerador não pertence ao núcleo.
Passo 6
Alternativa (D):
p=\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ -17\\\ 1\end{pmatrix}. Calculo7p_{1}+p_{3}=7(2)+(-17)=14-17=-3,então p é solução particular. Geradores:
Verifico independência linear dos três vetores do span. Suponha\alpha\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 6\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.Olhando coordenada a coordenada:
1ª coord.: \alpha=0.
2ª coord.: 3\gamma=0\Rightarrow \gamma=0.
4ª coord.: 6\beta=0\Rightarrow \beta=0.
Com isso \alpha=\beta=\gamma=0, logo os vetores são linearmente independentes e geram um espaço de dimensão 3, que é exatamente o núcleo. Portanto o span dado é precisamente o núcleo da forma linear.
Conclusão: em (F) p é uma solução particular e os três vetores geradores pertencem ao núcleo e são independentes; portanto (F) descreve exatamente o conjunto procurado.
Passo 9
Verifico rapidamente as alternativas restantes apenas para checar consistência (já eliminadas antes, mas resumo):
(G): o segundo gerador \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} não satisfaz a condição do núcleo ( 7\cdot 2 + 0 =14\neq0 ), logo (G) falha.
(H): o primeiro gerador \begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} dá 7(-7)+1=-48\neq0, logo (H) falha.