O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que 7 x_{2}+x_{4}=5 pode ser representado por:
Passo 1
O enunciado pede: representar o conjunto dos \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
7x_{2}+x_{4}=5.
Informações dadas:
Temos uma única equação linear envolvendo as componentes \;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\;.
A equação relaciona \;x_{2} e \;x_{4} por \;7x_{2}+x_{4}=5.
Não há restrição sobre \;x_{1} nem sobre \;x_{3} no enunciado (logo parecem livres).
O que se pede: dar uma representação do conjunto (uma forma paramétrica ou como soma de um vetor particular com o espaço das soluções homogêneas).
Passo 2
Vamos escolher algumas variáveis livres para parametrizar todas as soluções. Como a equação só envolve \;x_{2} e \;x_{4}, uma escolha natural é tomar \;x_{1},x_{2},x_{3} como parâmetros livres e expressar \;x_{4} em função de \;x_{2}.
Definimos parâmetros reais
s:=x_{1},\qquad t:=x_{2},\qquad u:=x_{3},
onde s,t,u\in\mathbb{R}. Agora usamos a equação para obter x_{4}.
Passo 3
Usando \;7x_{2}+x_{4}=5 e substituindo x_{2}=t, obtemos
Aqui \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]5\end{pmatrix} é um vetor particular que satisfaz a equação (por exemplo obtido com s=0,t=0,u=0), e os três vetores multiplicados por s,t,u geram o espaço das soluções da equação homogênea 7x_{2}+x_{4}=0.]
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida: qualquer tripla (s,t,u) gera um vetor da forma acima e, trocando s,t,u arbitrariamente em \mathbb{R}, obtemos exatamente todos os vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) que satisfazem \;7x_{2}+x_{4}=5. Para checar, calcule 7x_{2}+x_{4}=7t+(5-7t)=5, que atende a equação para todo t.