O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que
7 x_{2}+x_{4}=5 pode ser representado por:

Passo 1

O enunciado pede: representar o conjunto dos \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
7x_{2}+x_{4}=5.
Informações dadas:
  • Temos uma única equação linear envolvendo as componentes \;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\;.
  • A equação relaciona \;x_{2} e \;x_{4} por \;7x_{2}+x_{4}=5.
  • Não há restrição sobre \;x_{1} nem sobre \;x_{3} no enunciado (logo parecem livres).
O que se pede: dar uma representação do conjunto (uma forma paramétrica ou como soma de um vetor particular com o espaço das soluções homogêneas).

Passo 2

Vamos escolher algumas variáveis livres para parametrizar todas as soluções. Como a equação só envolve \;x_{2} e \;x_{4}, uma escolha natural é tomar \;x_{1},x_{2},x_{3} como parâmetros livres e expressar \;x_{4} em função de \;x_{2}.
Definimos parâmetros reais
s:=x_{1},\qquad t:=x_{2},\qquad u:=x_{3},
onde s,t,u\in\mathbb{R}. Agora usamos a equação para obter x_{4}.

Passo 3

Usando \;7x_{2}+x_{4}=5 e substituindo x_{2}=t, obtemos
7t + x_{4} = 5 \quad\Longrightarrow\quad x_{4} = 5 - 7t.
Portanto cada solução tem coordenadas
x_{1}=s,\quad x_{2}=t,\quad x_{3}=u,\quad x_{4}=5-7t.

Passo 4

Escrevendo a solução em forma vetorial (coluna), temos
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s\\[4pt]t\\[4pt]u\\[4pt]5-7t\end{pmatrix}.
Agora separamos termos para evidenciar um vetor particular mais combinações lineares:]

Passo 5

Reescrevendo por separação de s,t,u,
\begin{pmatrix}s\\[4pt]t\\[4pt]u\\[4pt]5-7t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]5\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]-7\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Aqui \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]5\end{pmatrix} é um vetor particular que satisfaz a equação (por exemplo obtido com s=0,t=0,u=0), e os três vetores multiplicados por s,t,u geram o espaço das soluções da equação homogênea 7x_{2}+x_{4}=0.]

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: qualquer tripla (s,t,u) gera um vetor da forma acima e, trocando s,t,u arbitrariamente em \mathbb{R}, obtemos exatamente todos os vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) que satisfazem \;7x_{2}+x_{4}=5. Para checar, calcule 7x_{2}+x_{4}=7t+(5-7t)=5, que atende a equação para todo t.

Resposta

\left\{\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{4}\;\middle|\;7x_{2}+x_{4}=5\right\} = \left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]5\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]-7\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\;\middle|\;s,t,u\in\mathbb{R}\right\}]

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