Precisamos encontrar o valor de k para que o ponto pertença ao plano (ou seja, para que ele possa ser escrito como o ponto base mais uma combinação linear dos vetores dados).
As informações relevantes são:
ponto base p_0 = (-3,-1,-1,2);
geradores do espaço \;v_1 = (-2,1,-2,-1) e \;v_2 = (-2,-2,2,3);
ponto dado P = (-5,3,-7,k).
Passo 2
Explicação rápida e didática do que significa a notação dada (sem pular etapas):
A expressão p_0+\operatorname{span}\{v_1,v_2\} significa todos os pontos da formap_0 + s\,v_1 + t\,v_2onde s e t são números reais quaisquer.
Em palavras: partimos do ponto p_0 e somamos uma combinação linear dos vetores v_1 e v_2. Essa é a representação paramétrica do plano/afim gerado por p_0,v_1,v_2.
Logo, para que P pertença a esse conjunto, existem escalares s,t\in\mathbb{R} tais quep_0 + s\,v_1 + t\,v_2 = P.
Nosso objetivo prático: escrever essa igualdade coordenada por coordenada, resolver para s e t e então calcular k a partir da coordenada correspondente.
Agora separamos por coordenadas: para cada posição (1ª, 2ª, 3ª, 4ª) as componentes devem ser iguais. Isso gera um sistema de equações em s,t (e a última equação envolve k).
Passo 4
Escrevendo as quatro equações coordenada a coordenada e simplificando:
1ª coordenada:
-2s +2t = -6 \quad\Longrightarrow\quad -s + t = -3.
Temos então o sistema (mais simples):
\begin{cases} s + t = 1,\\[4pt] s - 2t = 4,\\[4pt] -s + t = -3. \end{cases}
Observação: só precisaremos de duas dessas equações para determinar s\] e \(t; a terceira serve como verificação de consistência.]
Passo 5
Resolvendo o sistema por substituição (passo a passo, jeito que dá pra fazer na prova sem calculadora):
Da primeira equação \;s + t = 1\; temoss = 1 - t.
Substituímos em \; -s + t = -3\; (a terceira equação), para evitar frações:-(1 - t) + t = -3.Desenvolvendo:-1 + t + t = -3 \quad\Longrightarrow\quad 2t -1 = -3.Somando 1:2t = -2 \quad\Longrightarrow\quad t = -1.
Usando s = 1 - t:s = 1 - (-1) = 2.
Verificação rápida usando a equação do meio s - 2t = 4:2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4,está consistente. Então s=2 e t=-1 satisfazem todas as equações das três primeiras coordenadas.
Passo 6
Agora usamos a 4ª coordenada para encontrar k. A equação da 4ª coordenada é:
2 + s(-1) + t(3) = k.
Substituindo s=2 e t=-1:
k = 2 + 2(-1) + 3(-1) = 2 -2 -3 = -3.
Portanto o valor de k que faz o ponto pertencer ao plano é -3.