Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}-22 \\\\ -16 \\\\ 0 \\\\ -12\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-3 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ -1\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}-18 \\\\ -13 \\\\ 5 \\\\ -13\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4. Vou listar explicitamente os pontos e as direções fornecidas, e dizer claramente o que é pedido.
Ponto base do primeiro plano:
p=\begin{bmatrix}-22\\\ -16\\\ 0\\\ -12\end{bmatrix}
direções do primeiro plano:
u=\begin{bmatrix}2\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix},\qquad v=\begin{bmatrix}-3\\\ -1\\\ -3\\\ -1\end{bmatrix}.
Ponto base do segundo plano:
q=\begin{bmatrix}-18\\\ -13\\\ 5\\\ -13\end{bmatrix}
direções do segundo plano:
r=\begin{bmatrix}3\\\ 2\\\ -2\\\ 2\end{bmatrix},\qquad w=\begin{bmatrix}-2\\\ -2\\\ 1\\\ -3\end{bmatrix}.
O que se pede: encontrar o ponto de interseção dos dois planos (se existir) e, em particular, o valor da coordenada x_1 desse ponto.

Passo 2

Modelo paramétrico de cada plano. Vou introduzir parâmetros s,t para o primeiro plano e a,b para o segundo:
Ponto genérico do primeiro plano:
P(s,t)=p+s\,u+t\,v.
Ponto genérico do segundo plano:
Q(a,b)=q+a\,r+b\,w.
Para que os planos se intersectem em um ponto, existe (s,t,a,b) tais que
P(s,t)=Q(a,b).
Vou escrever essa igualdade componente a componente.

Passo 3

Escrevendo as quatro equações coordenada a coordenada (cada linha é uma coordenada do vetor):
primeira coordenada:
-22+2s-3t=-18+3a-2b
segunda coordenada:
-16+2s-t=-13+2a-2b
terceira coordenada:
0+0\cdot s-3t=5-2a+1\cdot b
quarta coordenada:
-12+0\cdot s-t=-13+2a-3b

Passo 4

Reescrevo cada equação movendo todos os termos para o mesmo lado, para formar um sistema linear em s,t,a,b.
Da primeira equação:
2s-3t-3a+2b=4 \tag{I}
Da segunda:
2s-t-2a+2b=3 \tag{II}
Da terceira:
-3t+2a-b=5 \tag{III}
Da quarta:
-t-2a+3b=-1 \tag{IV}

Passo 5

Eliminação passo a passo. Primeiro elimino s subtraindo (II) de (I):
\text{(I)}-\text{(II)}:\quad (2s-3t-3a+2b)-(2s-t-2a+2b)=4-3
o que dá
-2t-a=1.
Reescrevo:
a+2t=-1. \tag{V}

Passo 6

Uso (III) para isolar b. Da (III):
-3t+2a-b=5 \quad\Rightarrow\quad b=2a-3t-5. \tag{VI}
Substituo (VI) em (IV). Na (IV) temos:
-t-2a+3b=-1.
Substituindo b de (VI):
-t-2a+3(2a-3t-5)=-1.
Calculando os termos:
-t-2a+6a-9t-15=-1.
Agrupando:
4a-10t-15=-1.
Logo:
4a-10t=14.
Dividindo por 2:
2a-5t=7. \tag{VII}

Passo 7

Agora uso (V) para eliminar a em (VII). De (V) temos a=-1-2t. Substituo em (VII):
2(-1-2t)-5t=7.
Calculando:
-2-4t-5t=7 \quad\Rightarrow\quad -2-9t=7.
Logo:
-9t=9 \quad\Rightarrow\quad t=-1.

Passo 8

Com t=-1, encontro a por (V):
a+2(-1)=-1 \quad\Rightarrow\quad a-2=-1 \quad\Rightarrow\quad a=1.
Com a=1 e t=-1, uso (VI) para b:
b=2a-3t-5=2\cdot1-3(-1)-5=2+3-5=0.

Passo 9

Finalmente encontro s. Uso a equação (II):
2s-t-2a+2b=3.
Substituo t=-1, a=1, b=0:
2s-(-1)-2\cdot1+2\cdot0=3 \quad\Rightarrow\quad 2s+1-2=3 \quad\Rightarrow\quad 2s-1=3.
Logo
2s=4 \quad\Rightarrow\quad s=2.

Passo 10

Com (s,t)=(2,-1) monto o ponto de interseção usando P(s,t)=p+s\,u+t\,v.
Calculo termo a termo:
primeira coordenada:
-22 + 2\cdot2 + (-1)\cdot(-3) = -22 +4 +3 = -15.
segunda coordenada:
-16 + 2\cdot2 + (-1)\cdot(-1) = -16 +4 +1 = -11.
terceira coordenada:
0 + 2\cdot0 + (-1)\cdot(-3) = 0 +0 +3 = 3.
quarta coordenada:
-12 + 2\cdot0 + (-1)\cdot(-1) = -12 +0 +1 = -11.
Portanto o ponto de interseção é
\begin{bmatrix}-15\\\ -11\\\ 3\\\ -11\end{bmatrix}.

Resposta

-15

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