Considere os seguintes planos em
:
.
Calcule o ponto (
) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada
é:
Calcule o ponto (
Passo 1
O enunciado dá dois planos afins em
. Vou listar explicitamente os pontos e as direções fornecidas, e dizer claramente o que é pedido.
Ponto base do primeiro plano:
direções do primeiro plano:
Ponto base do segundo plano:
direções do segundo plano:
O que se pede: encontrar o ponto de interseção dos dois planos (se existir) e, em particular, o valor da coordenada
desse ponto.
Passo 2
Modelo paramétrico de cada plano. Vou introduzir parâmetros
para o primeiro plano e
para o segundo:
Ponto genérico do primeiro plano:
Ponto genérico do segundo plano:
Para que os planos se intersectem em um ponto, existe
tais que
Vou escrever essa igualdade componente a componente.
Passo 3
Escrevendo as quatro equações coordenada a coordenada (cada linha é uma coordenada do vetor):
primeira coordenada:
segunda coordenada:
terceira coordenada:
quarta coordenada:
Passo 4
Reescrevo cada equação movendo todos os termos para o mesmo lado, para formar um sistema linear em
.
Da primeira equação:
Da segunda:
Da terceira:
Da quarta:
Passo 5
Eliminação passo a passo. Primeiro elimino
subtraindo (II) de (I):
o que dá
Reescrevo:
Passo 6
Uso (III) para isolar
. Da (III):
Substituo (VI) em (IV). Na (IV) temos:
Substituindo
de (VI):
Calculando os termos:
Agrupando:
Logo:
Dividindo por 2:
Passo 7
Agora uso (V) para eliminar
em (VII). De (V) temos
. Substituo em (VII):
Calculando:
Logo:
Passo 8
Com
, encontro
por (V):
Com
e
, uso (VI) para
:
Passo 9
Finalmente encontro
. Uso a equação (II):
Substituo
,
,
:
Logo
Passo 10
Com
monto o ponto de interseção usando
.
Calculo termo a termo:
primeira coordenada:
segunda coordenada:
terceira coordenada:
quarta coordenada:
Portanto o ponto de interseção é